Encontre a solução dos PVIs abaixo:
y^prime prime prime+12 y^prime prime+36 y^prime=0,
y(1)=0, y^prime(1)=1, y^prime prime(1)=-7

Passo 1

O enunciado nos dá um PVI de terceira ordem com coeficientes constantes:
y''' + 12,y'' + 36,y' = 0,
com condições iniciais em x=1:
y(1)=0, y'(1)=1, y''(1)=-7
O conteúdo requerido é solução de equação linear homogênea de ordem elevada: montar a equação característica, achar raízes, escrever solução geral, calcular derivadas e ajustar constantes pelas condições iniciais.

Passo 2

Formamos a equação característica associada:
r^3 + 12r^2 + 36r = 0
Fatorando,
r,(r^2 + 12r + 36) = 0 Longrightarrow r = 0, r = -6 (dupla)

Passo 3

Com raízes 0 e -6 dupla, a solução geral é
y(x) = C1 + C2 e^-6x + C3,x,e^-6x

Passo 4

Calculamos as derivadas para impor as condições iniciais:
y'(x) = -6C2 e^-6x + C3 e^-6x -6C3 x e^-6x = e^-6xl(-6C2 -5C3 -6C3(x-1)r)
(pode reorganizar-se para facilitar),
y''(x) = e^-6xl(36C2 +24C3 +36C3(x-1)r)
Em x=1 temos o sistema
y(1)=C1 + e^-6(C2 + C3)=0, y'(1)=e^-6(-6C2 -5C3)=1, y''(1)=e^-6(36C2 +24C3)=-7

Passo 5

Multiplicando as duas últimas igualdades por e^6 e resolvendo o sistema para C2,C3 obtemos
-6C2 -5C3 = e^6, 36C2 +24C3 = -7e^6
cuja solução é
C2 = -tfrac1136,e^6, C3 = tfrac16,e^6
Em seguida, de C1 + e^-6(C2 + C3)=0 vem
C1 = tfrac536

Passo 6

Substituindo C1,C2,C3 na solução geral e simplificando,
y(x) = tfrac536 - tfrac1136e^6-6x + tfrac16,x,e^6-6x = 136l[5 + (6x-11)e^-6(x-1)r]

Resposta

y(x) = 136l[5 + (6x - 11),e^-6(x-1)r]

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