Seja f uma função tal que
lll x^5-4 x^4+3 x^3+2 x^2-4 x <= f(x) <= x^4-4 x^3+x^2+4 x-4 & para & x<-1 x^4-4 x^3+x^2+4 x-4 <= f(x) <= x^5-4 x^4+3 x^3+2 x^2-4 x & para & x>-1
Determine os limites abaixo, caso seja possível.
lim x 2 f(x).

Passo 1

O enunciado define uma função f que, para x>-1, satisfaz as desigualdades
x^4-4x^3+x^2+4x-4 ;<=; f(x);<=; x^5-4x^4+3x^3+2x^2-4x
Queremos calcular limxto2f(x). Vamos usar o Teorema do Confronto (Squeeze Theorem), aproveitando que polinômios são funções contínuas.

Passo 2

Para xto2 (e 2>-1) valem as mesmas desigualdades acima. Definimos
g(x)=x^4-4x^3+x^2+4x-4, h(x)=x^5-4x^4+3x^3+2x^2-4x,
de modo que
g(x)<= f(x)<= h(x)

Passo 3

Como g e h são polinômios, são contínuos, e
limxto2g(x) =2^4-4cdot2^3+2^2+4cdot2-4 =16-32+4+8-4=-8,
limxto2h(x) =2^5-4cdot2^4+3cdot2^3+2cdot2^2-4cdot2 =32-64+24+8-8=-8

Passo 4

Pelo Teorema do Confronto, como limxto2g(x)=limxto2h(x)=-8 e
g(x)<= f(x)<= h(x),
segue que
limxto2f(x)=-8.

Resposta

-8

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