Encontre a solução da seguinte EDO:
x^2 y^prime-2 x y=5 y^4, x>0

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial
x^2,y' - 2x,y = 5,y^4, x>0,
que é da forma de uma equação de Bernoulli em y. Para resolver precisamos escrever na forma
dydx + P(x),y = Q(x),y^n
e então aplicar a substituição u = y^1-n.

Passo 2

Dividimos ambos os lados por x^2 para expor tfracdydx:
dydx - 2x,y = 5x^2,y^4
Aqui P(x)=-tfrac2x, Q(x)=tfrac5x^2 e n=4.

Passo 3

Na equação de Bernoulli com n=4 fazemos a substituição
u = y^1-n = y^-3
Então
dudx = -3,y^-4,dydx

Passo 4

Substituímos dydx da equação original em dudx:
dydx = 2x,y + 5x^2,y^4 ;Longrightarrow; dudx = -3,y^-4l(2x,y + 5x^2,y^4r) = -6x,y^-3 ;-;15x^2
Como y^-3=u, temos
dudx + 6x,u = -15x^2

Passo 5

Resolvemos a equação linear em u. O fator integrante é
mu(x) = exp!l(integral 6x,dxr) = x^6
Multiplicando tudo por x^6:
ddxl(x^6ur) = x^6l(-15x^2r) = -15,x^4
Integrando,
x^6,u = integral -15,x^4,dx = -3,x^5 + C,
ou seja
u = -3x + C,x^-6

Passo 6

Voltando à variável y, lembrando u=y^-3, obtemos
y^-3 = -3x + C,x^-6 ;Longrightarrow; y(x) = gl(-3x + C,x^-6gr)^-tfrac13,
onde C é a constante de integração e x>0.

Resposta

y(x) = gl(C,x^-6 - tfrac3xgr)^-tfrac13, CinR

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