Fazendo a substituição v=ln y, transforme a EDO não-linear em uma linear e resolva-a:
x y^prime-4 x^2 y+2 y ln y=0

Passo 1

O enunciado dá a EDO
x,y' - 4x^2y + 2yln y = 0
e pede que façamos a substituição v = ln y para transformar a equação numa EDO linear em v.

Passo 2

Como v = ln y, temos y = e^v e
y' = dydx = e^v,dvdx

Passo 3

Substituindo y e y' na EDO:
xl(e^v,v'r) - 4x^2(e^v) + 2(e^v),v = 0
Fatorando e^vneq0:
x,v' - 4x^2 + 2v = 0

Passo 4

Escrevendo como equação linear padrão em v:
x,dvdx + 2v = 4x^2
Dividindo por x (supondo xneq0):
dvdx + 2x,v = 4x

Passo 5

O fator integrante é
mu(x) = exp!l(integral 2x,dxr) = x^2
Multiplicando a equação por x^2:
x^2dvdx + 2x,v = 4x^3,
que é
ddxl(x^2vr) = 4x^3

Passo 6

Integramos ambos os lados:
x^2v = integral 4x^3,dx = x^4 + C,
onde C é constante de integração. Logo
v = x^2 + Cx^2

Passo 7

Voltando à variável original y, temos
ln y = v = x^2 + Cx^2 Longrightarrow y = exp!l(x^2 + Cx^2r)

Resposta

y(x) = exp!l(x^2 + Cx^2r),
onde C é constante arbitrária.

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