Resolva a EDO:
y^prime prime+(y^prime)^2=0, y>0, y^prime>0

Passo 1

O enunciado dá a EDO de segunda ordem
y'' + (y')^2 = 0,
com as condições de sinal y>0 e y'>0. Para resolver vamos usar redução de ordem, definindo
p = y'

Passo 2

Como y''=dpdx, a EDO fica
dpdx + p^2 = 0,
que é uma equação separável em p e x.

Passo 3

Separe variáveis e integre:
dpp^2 = -,dx
Integrando ambos os lados,
-1p = -x + C1
de onde se obtém
1p = x + C1

Passo 4

Invertendo,
p = 1x + C1,
ou seja
y' = 1x + C1
Agora integramos em x:
y = integral dxx + C1 = lnl|x + C1r| + C2

Passo 5

Para garantir y'>0 precisamos x + C1>0, permitindo remover o valor absoluto. Além disso y>0 impõe
ln(x + C1) + C2 > 0
Portanto, no domínio relevante a solução geral é
y(x) = ln(x + C1) + C2,
com as constantes ajustadas de modo que
x + C1 > 0 e ln(x + C1) + C2>0

Resposta

y(x) = ln(x + C1) + C2,
com x + C1>0 e ln(x + C1)+C2>0 assegurando y'>0 e y>0.

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