Resolva as seguintes equações diferenciais:
2 y^prime 3+x y^prime-2 y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
2,y'^3 + x,y' - 2,y = 0,
onde y'= tfracdydx. Vamos reconhecer que isso pode ser escrito na forma
y = x,y'2 + (y')^3,
ou seja,
y = x,varphi(p) + psi(p), p = y',
com varphi(p)=tfrac p2 e psi(p)=p^3. Esse é o caso de Lagrange, cujo método de solução envolve dois ramos: o geral (tomando p constante) e o singular (obtido pela envoltória).

Passo 2

Para a solução geral, assumimos p=y' constante, digamos p=C. Substituindo em
y = x, C2 + C^3
obtém-se a família de retas
boxedy = C2,x + C^3,
onde C é a constante arbitrária.

Passo 3

Para a solução singular fazemos a condição de envoltória, i.e. derivamos
y = x, p2 + p^3
em relação a p e impomos que seja zero:
partialpartial pl(x,tfrac p2 + p^3r)=0 Longrightarrow x2 + 3,p^2 =0 Longrightarrow x = -6,p^2
Substituindo este x de volta em y = x,tfrac p2 + p^3
y = (-6,p^2), p2 + p^3 = -3,p^3 + p^3 = -2,p^3
Para eliminar o parâmetro p, note que p^2 = -tfrac x6, logo
p^3 = pcdot p^2 = pmraiz-tfrac x6,l(-tfrac x6r)
e
y = -2,p^3 ;Longrightarrow; y^2 = 4,p^6 = 4l(tfrac x6r)^3 = 4,x^3216 = -x^354
Assim, a singular fica
boxedy^2 = -x^354

Resposta

Solução geral: y = C2 cdot x + C^3,;C in R\nSolução singular (envoltória): y^2 = -x^354

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