Resolva as seguintes equações diferenciais:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
onde
. Vamos reconhecer que isso pode ser escrito na forma
ou seja,
com
e
. Esse é o caso de Lagrange, cujo método de solução envolve dois ramos: o geral (tomando
constante) e o singular (obtido pela envoltória).
Passo 2
Para a solução geral, assumimos
constante, digamos
. Substituindo em
obtém-se a família de retas
onde
é a constante arbitrária.
Passo 3
Para a solução singular fazemos a condição de envoltória, i.e. derivamos
em relação a
e impomos que seja zero:
Substituindo este
de volta em
dá
Para eliminar o parâmetro
, note que
, logo
e
Assim, a singular fica
Resposta
Solução geral:
\nSolução singular (envoltória):