Encontre a solução para o seguinte PVI:
2 t y t^2+1 -2 t-2-ln (t^2+1) y^prime=0, y(5)=0

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que você nos mandou. Temos um Problema de Valor Inicial (PVI) que envolve uma equação diferencial ordinária de primeira ordem. O enunciado é:
2 t yt^2+1 - 2 t - 2 - ln (t^2+1) y^prime = 0, y(5) = 0
Nesse exercício, vamos precisar usar métodos de equações diferenciais lineares, especificamente o fator integrante, para encontrar a função y(t) que satisfaz essa equação com a condição inicial dada.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixar a derivada y' isolada. A equação dada é:
2 t yt^2+1 - 2 t - 2 - ln (t^2+1) y^prime = 0
Vamos mover os termos que não envolvem y' para o outro lado:
ln (t^2+1) y^prime = 2 t yt^2+1 - 2 t - 2
Agora, dividimos tudo por ln (t^2+1) para isolar y' :
y' = 2 t y(t^2+1) ln (t^2+1) - 2 t + 2ln (t^2+1)
Isso nos dá uma equação na forma padrão das equações diferenciais lineares:
y' + P(t) y = Q(t)
Onde:
P(t) = -2 t(t^2+1) ln (t^2+1) e Q(t) = -2 t + 2ln (t^2+1)

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante. O fator integrante mu(t) é dado por:
mu(t) = e^integral P(t) dt
Substituindo P(t) :
mu(t) = e^ -integral 2 t(t^2+1) ln (t^2+1) dt
Vamos resolver a integral no expoente. Para isso, fazemos uma substituição:
Seja u = t^2 + 1 , então du = 2 t dt . Isso simplifica a integral para:
integral 2 t(t^2+1) ln (t^2+1) dt = integral duu ln u
Agora, fazemos outra substituição: v = ln u , então dv = 1u du . A integral fica:
integral 1v dv = ln |v| + C = ln |ln u| + C = ln |ln (t^2+1)| + C
Portanto, o fator integrante é:
mu(t) = e^ - ln |ln (t^2+1)| = 1ln (t^2+1)

Passo 4

Com o fator integrante mu(t) , podemos multiplicar toda a equação diferencial original por esse fator para facilitar a solução:
mu(t) y' + mu(t) P(t) y = mu(t) Q(t)
Substituindo mu(t) , P(t) e Q(t) :
1ln (t^2+1) y' - 2 t(t^2+1) (ln (t^2+1))^2 y = -2 t + 2(ln (t^2+1))^2
Agora, o lado esquerdo da equação se torna a derivada do produto mu(t) y :
ddt ( yln (t^2+1) ) = -2 t + 2(ln (t^2+1))^2

Passo 5

Agora, vamos integrar ambos os lados para encontrar y :
integral ddt ( yln (t^2+1) ) dt = integral -2 t + 2(ln (t^2+1))^2 dt
Isso simplifica para:
yln (t^2+1) = - integral 2 t + 2(ln (t^2+1))^2 dt + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Para resolver a integral do lado direito, podemos dividir em duas partes:
- integral 2 t(ln (t^2+1))^2 dt - integral 2(ln (t^2+1))^2 dt + C
Vamos resolver cada uma separadamente.
Primeira Integral:
Para integral 2 t(ln (t^2+1))^2 dt , fazemos a substituição u = ln (t^2+1) , então du = 2 tt^2+1 dt . No entanto, a forma atual não se encaixa perfeitamente, então reconhecemos que essa integral pode não ser expressa em termos de funções elementares e pode ser deixada em forma de integral definida ou expressa usando funções especiais.
Segunda Integral:
Similarmente, integral 2(ln (t^2+1))^2 dt também não se resolve facilmente com substituições simples e pode precisar de métodos avançados ou ser expressa de forma implícita.

Passo 7

Com as integrais sendo complexas, mantemos a solução em termos de integrais. Portanto, a solução geral da equação diferencial é:
y(t) = ln (t^2+1) ( - integral 2 t + 2(ln (t^2+1))^2 dt + C )

Passo 8

Aplicando a condição inicial y(5) = 0 para encontrar a constante C :
0 = ln (5^2+1) ( - integralt0^5 2 s + 2(ln (s^2+1))^2 ds + C )
Resolvendo para C :
C = integralt0^5 2 s + 2(ln (s^2+1))^2 ds
Onde t0 é o limite de integração inicial que pode ser escolhido conforme a necessidade do problema.

Resposta

A solução do PVI é dada por
y(t) = ln(t^2 + 1) ( C - integral 2 t + 2(ln(t^2 +1))^2 , dt )
onde C é a constante determinada pela condição inicial y(5) = 0 .

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