Encontre a solução para o seguinte PVI:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que você nos mandou. Temos um Problema de Valor Inicial (PVI) que envolve uma equação diferencial ordinária de primeira ordem. O enunciado é:
Nesse exercício, vamos precisar usar métodos de equações diferenciais lineares, especificamente o fator integrante, para encontrar a função
que satisfaz essa equação com a condição inicial dada.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixar a derivada
isolada. A equação dada é:
Vamos mover os termos que não envolvem
para o outro lado:
Agora, dividimos tudo por
para isolar
:
Isso nos dá uma equação na forma padrão das equações diferenciais lineares:
Onde:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Substituindo
:
Vamos resolver a integral no expoente. Para isso, fazemos uma substituição:
Seja
, então
. Isso simplifica a integral para:
Agora, fazemos outra substituição:
, então
. A integral fica:
Portanto, o fator integrante é:
Passo 4
Com o fator integrante
, podemos multiplicar toda a equação diferencial original por esse fator para facilitar a solução:
Substituindo
,
e
:
Agora, o lado esquerdo da equação se torna a derivada do produto
:
Passo 5
Agora, vamos integrar ambos os lados para encontrar
:
Isso simplifica para:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Para resolver a integral do lado direito, podemos dividir em duas partes:
Vamos resolver cada uma separadamente.
Primeira Integral:
Para
, fazemos a substituição
, então
. No entanto, a forma atual não se encaixa perfeitamente, então reconhecemos que essa integral pode não ser expressa em termos de funções elementares e pode ser deixada em forma de integral definida ou expressa usando funções especiais.
Segunda Integral:
Similarmente,
também não se resolve facilmente com substituições simples e pode precisar de métodos avançados ou ser expressa de forma implícita.
Passo 7
Com as integrais sendo complexas, mantemos a solução em termos de integrais. Portanto, a solução geral da equação diferencial é:
Passo 8
Aplicando a condição inicial
para encontrar a constante
:
Resolvendo para
:
Onde
é o limite de integração inicial que pode ser escolhido conforme a necessidade do problema.
Resposta
A solução do PVI é dada por
onde
é a constante determinada pela condição inicial
.