(3.0 pontos) Seja
(a) Mostre que esta aplicação define um produto interno em
.
(b) O conjunto
é ortogonal com respeito a este produto interno?
(c) Dado
, mostre que
é ortogonal em relação a (2) e, portanto forma uma base ortogonal para
.
(d) Determine os coeficientes de Fourier de
em relação à base do item anterior.
(b) O conjunto
(c) Dado
(d) Determine os coeficientes de Fourier de
Passo 1
O enunciado define em
a aplicação
Pede (a) verificar que isto é um produto interno, (b) checar ortogonalidade da base canônica, (c) mostrar que
é ortogonal e forma base, e (d) encontrar os coeficientes de Fourier de
e
nesta base.
Passo 2
Mostramos as três propriedades de um produto interno:
- Bilinearidade em cada argumento. Sejam
e . Basta verificar que o que segue diretamente da definição por soma e produto escalar em coordenadas. - Simetria. Trocando
por no definidor, obtemos logo . - Definitude positiva.
e se e só se .
Assim temos forma bilinear simétrica e semidefinida positiva (em muitos textos “produto interno” exige
para todo
; aqui vale
).
Passo 3
Checamos ortogonalidade de
calculando
Logo não são ortogonais.
Passo 4
Para
calculamos
Como
,
são linearmente independentes e formam base ortogonal.
Passo 5
Para achar os coeficientes de Fourier de
resolvendo
Resposta
(a) A aplicação é bilinear, simétrica e semidefinida positiva (
).
(b) Não, pois .
(c) é ortogonal porque
e forma base já que seu determinante é não nulo.
(d) Os coeficientes de Fourier são
(b) Não, pois
(c)
(d) Os coeficientes de Fourier são