(3.0 pontos) Seja
\left\langle\left(x_{1}, x_{2}\right),\left(y_{1}, y_{2}\right)\right\rangle:=x_{1} y_{1}-x_{1} y_{2}-x_{2} y_{1}+x_{2} y_{2}
(a) Mostre que esta aplicação define um produto interno em \mathbb{R}^{2}.
(b) O conjunto \{(1,0),(0,1)\} é ortogonal com respeito a este produto interno?
(c) Dado \beta=\{(2,1),(1,1)\}, mostre que \beta é ortogonal em relação a (2) e, portanto forma uma base ortogonal para \mathbb{R}^{2}.
(d) Determine os coeficientes de Fourier de \{(1,0),(0,1)\} em relação à base do item anterior.

Passo 1

O enunciado define em \mathbb R^2 a aplicação
\big\langle (x_1,x_2),(y_1,y_2)\big\rangle = x_1y_1 - x_1y_2 - x_2y_1 + x_2y_2.
Pede (a) verificar que isto é um produto interno, (b) checar ortogonalidade da base canônica, (c) mostrar que \beta=\{(2,1),(1,1)\} é ortogonal e forma base, e (d) encontrar os coeficientes de Fourier de (1,0) e (0,1) nesta base.

Passo 2

Mostramos as três propriedades de um produto interno:
  1. Bilinearidade em cada argumento. Sejam u,v,w\in\mathbb R^2 e \alpha\in\mathbb R. Basta verificar que \langle u+v,w\rangle =\langle u,w\rangle+\langle v,w\rangle, \quad \langle \alpha u,v\rangle =\alpha\langle u,v\rangle,o que segue diretamente da definição por soma e produto escalar em coordenadas.
  2. Simetria. Trocando (x_1,x_2) por (y_1,y_2) no definidor, obtemos y_1x_1 - y_1x_2 - y_2x_1 + y_2x_2 = x_1y_1 - x_1y_2 - x_2y_1 + x_2y_2,logo \langle u,v\rangle=\langle v,u\rangle.
  3. Definitude positiva. \langle v,v\rangle = v_1^2 -2v_1v_2 + v_2^2 = (v_1 - v_2)^2 \;\ge0e \langle v,v\rangle=0 se e só se v_1=v_2.
Assim temos forma bilinear simétrica e semidefinida positiva (em muitos textos “produto interno” exige \langle v,v\rangle>0 para todo v\neq0; aqui vale \ge0).

Passo 3

Checamos ortogonalidade de \{(1,0),(0,1)\} calculando
\big\langle(1,0),(0,1)\big\rangle =1\cdot0 - 1\cdot1 - 0\cdot0 + 0\cdot1 =-1\neq0.
Logo não são ortogonais.

Passo 4

Para \beta=\{u_1=(2,1),\,u_2=(1,1)\} calculamos
\langle u_1,u_2\rangle =2\cdot1 - 2\cdot1 - 1\cdot1 + 1\cdot1 =2 -2 -1 +1 =0.
Como \det\!\begin{pmatrix}2&1\\\ 1&1\end{pmatrix}=1\neq0, u_1,u_2 são linearmente independentes e formam base ortogonal.

Passo 5

Para achar os coeficientes de Fourier de v\in\{(1,0),(0,1)\}\) em \(\beta\), escrevemos \[(1,0)=c_1(2,1)+c_2(1,1) \quad\Longrightarrow\quad \begin{cases} 2c_1 + c_2 =1,\\\ c_1 + c_2 =0, \end{cases}
resolvendo \,c_1=1,\;c_2=-1.\] De modo análogo, \[(0,1)=d_1(2,1)+d_2(1,1) \quad\Longrightarrow\quad \begin{cases} 2d_1 + d_2 =0,\\\ d_1 + d_2 =1, \end{cases}\] obtemos \(\,d_1=-1,\;d_2=2.

Resposta

(a) A aplicação é bilinear, simétrica e semidefinida positiva ( \langle v,v\rangle=(v_1-v_2)^2\ge0).
(b) Não, pois \langle(1,0),(0,1)\rangle=-1\neq0.
(c) \beta é ortogonal porque \langle(2,1),(1,1)\rangle=0 e forma base já que seu determinante é não nulo.
(d) Os coeficientes de Fourier são
(1,0)=1\,(2,1)\;+\;(-1)\,(1,1), \quad (0,1)=-1\,(2,1)\;+\;2\,(1,1).

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