(3.0 pontos) Sabendo que T(2,3)=(-1,2,0) e T(-1,3)=(-1,0,0) :
(a) Calcule T(1,0), T(0,1) e T(x, y).
(b) Determine o núcleo de T. Qual a dimensão do núcleo? E da imagem?
(c) Determine a matriz da transformação nas bases canônicas.

Passo 1

O enunciado define uma transformação linear
\;T\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3\;
e dá
T(2,3)=(-1,2,0), \qquad T(-1,3)=(-1,0,0).
Precisamos usar a linearidade para encontrar
\;T(1,0), \;T(0,1) e, em seguida, a fórmula geral \;T(x,y), depois determinar núcleo, dimensões e matriz nas bases canônicas.

Passo 2

Sejam
\;a=T(1,0)=(a_1,a_2,a_3)\) e \(\;b=T(0,1)=(b_1,b_2,b_3)\). Pela linearidade temos \[T(2,3)=2a+3b=(-1,2,0),
T(-1,3)=-1\cdot a+3b=(-1,0,0).
Isto dá o sistema em componentes:
\begin{cases} 2a_1+3b_1=-1,\\\\ 2a_2+3b_2=2,\\\\ 2a_3+3b_3=0, \end{cases} \qquad \begin{cases} -\,a_1+3b_1=-1,\\\\ -\,a_2+3b_2=0,\\\\ -\,a_3+3b_3=0. \end{cases}
Da segunda coluna vem
\;a_1=3b_1+1\], \(\;a_2=3b_2, \;a_3=3b_3.
Substituindo na primeira coluna obtemos
9b_1=-3,\quad9b_2=2,\quad9b_3=0 \;\Longrightarrow\; b=\Bigl(-\tfrac13,\;\tfrac{2}{9},\;0\Bigr),
a=\Bigl(3b_1+1,\;3b_2,\;3b_3\Bigr) =\Bigl(0,\;\tfrac{2}{3},\;0\Bigr).
Logo
T(1,0)=\Bigl(0,\tfrac{2}{3},0\Bigr), \quad T(0,1)=\Bigl(-\tfrac{1}{3},\tfrac{2}{9},0\Bigr).

Passo 3

Pela linearidade, para qualquer (x,y)\in\mathbb{R}^2 vale
T(x,y)=x\,T(1,0)+y\,T(0,1) =\Bigl(-\tfrac{1}{3}y,\;\tfrac{2}{3}x+\tfrac{2}{9}y,\;0\Bigr).

Passo 4

O núcleo é dado por
T(x,y)=(0,0,0) \;\Longleftrightarrow\; -\tfrac{1}{3}y=0 \;\text{ e }\; \tfrac{2}{3}x+\tfrac{2}{9}y=0 \;\Longrightarrow\; x=0,\;y=0.
Logo \ker T=\{(0,0)\}, dimensão do núcleo é 0. A imagem é gerada por \{T(1,0),T(0,1)\}, que são vetores independentes em \mathbb{R}^3, logo \dim\bigl(\mathrm{Im}\,T\bigr)=2.

Passo 5

Na base canônica de \mathbb{R}^2 e \mathbb{R}^3, a matriz de T tem colunas T(1,0) e T(0,1). Assim,
\left[ T \right]_{\mathcal{B}_{\text{can}}} = \begin{pmatrix} 0 & -\tfrac{1}{3} \\[6pt] \tfrac{2}{3} & \tfrac{2}{9} \\[4pt] 0 & 0 \end{pmatrix}.]

Resposta

(a)
\;T(1,0)=(0,\tfrac{2}{3},0),
\;T(0,1)=(-\tfrac{1}{3},\tfrac{2}{9},0),
\;T(x,y)=(-\tfrac{1}{3}y,\;\tfrac{2}{3}x+\tfrac{2}{9}y,\;0).
(b) \ker T=\{(0,0)\}, \dim\ker T=0, \dim\mathrm{Im}\,T=2.
(c)
[T]_{\text{can}}= \begin{pmatrix} 0 & -\tfrac{1}{3}\\\ \tfrac{2}{3} & \tfrac{2}{9}\\\\ 0 & 0 \end{pmatrix}.

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