(3.0 pontos) Sabendo que T(2,3)=(-1,2,0) e T(-1,3)=(-1,0,0) :
(a) Calcule T(1,0), T(0,1) e T(x, y).
(b) Determine o núcleo de T. Qual a dimensão do núcleo? E da imagem?
(c) Determine a matriz da transformação nas bases canônicas.
Passo 1
O enunciado define uma transformação linear \;T\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3\;
e dá
T(2,3)=(-1,2,0), \qquad T(-1,3)=(-1,0,0).
Precisamos usar a linearidade para encontrar \;T(1,0), \;T(0,1) e, em seguida, a fórmula geral \;T(x,y), depois determinar núcleo, dimensões e matriz nas bases canônicas.
Passo 2
Sejam
\;a=T(1,0)=(a_1,a_2,a_3)\)
e
\(\;b=T(0,1)=(b_1,b_2,b_3)\).
Pela linearidade temos
\[T(2,3)=2a+3b=(-1,2,0),
T(x,y)=(0,0,0) \;\Longleftrightarrow\; -\tfrac{1}{3}y=0 \;\text{ e }\; \tfrac{2}{3}x+\tfrac{2}{9}y=0 \;\Longrightarrow\; x=0,\;y=0.
Logo \ker T=\{(0,0)\}, dimensão do núcleo é 0. A imagem é gerada por \{T(1,0),T(0,1)\}, que são vetores independentes em \mathbb{R}^3, logo \dim\bigl(\mathrm{Im}\,T\bigr)=2.
Passo 5
Na base canônica de \mathbb{R}^2 e \mathbb{R}^3, a matriz de T tem colunas T(1,0) e T(0,1). Assim,