Encontre a solução das seguintes EDO não homogêneas
(D-3) y(t)=2 cos t

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de primeira ordem não homogênea
(D-3)y(t)=2cos t,
ou seja,
y'(t)-3y(t)=2cos t
O conteúdo principal é solução de EDO linear de primeira ordem, que consiste em achar primeiro a solução geral da homogênea e depois uma solução particular da não homogênea.

Passo 2

Resolvemos a parte homogênea associada, que é
y'(t)-3y(t)=0
Esta é separável ou pode ser vista como y'/y=3. Integrando, obtemos
ln|y|=3t + C1 Longrightarrow yh(t)=C,e^3t,
onde C é constante arbitrária.

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular yp(t) da equação completa
y'(t)-3y(t)=2cos t
Pelo método dos coeficientes indeterminados, suponha
yp(t)=Acos t + Bsin t
com constantes A,B a determinar.

Passo 4

Calculamos a derivada de yp:
yp'(t)=-Asin t + Bcos t
Substituindo em y'-3y=2cos t, temos
(-Asin t + Bcos t)-3(Acos t + Bsin t) =2cos t
Isto dá
(B-3A)cos t + (-A-3B)sin t = 2cos t + 0sin t
Comparando coeficientes:
B-3A=2, -A-3B=0
Da segunda equação A=-3B. Substituindo na primeira,
B-3(-3B)=B+9B=10B=2 Longrightarrow B=tfrac15,
A=-3B=-tfrac35
Logo
yp(t)=-tfrac35cos t + tfrac15sin t

Passo 5

A solução geral da EDO é a soma da homogênea com a particular:
y(t)=yh(t)+yp(t) = C,e^3t - tfrac35cos t + tfrac15sin t

Resposta

boxedy(t)=C,e^3t - 35cos t + 15sin t,
com C constante arbitrária.

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