Resolva as seguintes EDO expressadas em termos do operador derivação
:
Passo 1
O enunciado pede resolver a EDO
, onde
é o operador derivação
. O conteúdo necessário é resolver EDOs lineares de coeficientes constantes usando o polinômio característico, incluindo o caso de raízes complexas repetidas.
Passo 2
Substituímos
para obter o polinômio característico. Assim, temos\r
Cada fator
indica uma equação quadrática cujas raízes dão as soluções elementares.
Passo 3
Resolvendo a equação\r
calculamos o discriminante
. Logo as raízes são\r
Aqui identificamos
e
.
Passo 4
Como
aparece ao quadrado, cada raiz complexa
tem multiplicidade
. Para uma raiz complexa com multiplicidade
, além de \r
e
,\r
devemos incluir as soluções multiplicadas por : \r
e
.
devemos incluir as soluções multiplicadas por
Passo 5
Reunindo todas as soluções independentes, a solução geral é\r
onde
são constantes arbitrárias.