Resolva as seguintes EDO expressadas em termos do operador derivação D :
(D^2-D+5)^2 y(t)=0

Passo 1

O enunciado pede resolver a EDO (D^2 - D + 5)^2 y(t) = 0, onde D é o operador derivação tfracddt. O conteúdo necessário é resolver EDOs lineares de coeficientes constantes usando o polinômio característico, incluindo o caso de raízes complexas repetidas.

Passo 2

Substituímos Dmapsto r para obter o polinômio característico. Assim, temos\r
(r^2 - r + 5)^2 = 0 \r
Cada fator r^2 - r + 5 indica uma equação quadrática cujas raízes dão as soluções elementares.

Passo 3

Resolvendo a equação\r
r^2 - r + 5 = 0, \r
calculamos o discriminante De<a = (-1)^2 - 4cdot1cdot5 = -19. Logo as raízes são\r
r = 1 pm iraiz192 \r
Aqui identificamos alpha = tfrac12 e beta = tfracraiz192.

Passo 4

Como (r^2 - r + 5) aparece ao quadrado, cada raiz complexa tfrac1pm iraiz192 tem multiplicidade 2. Para uma raiz complexa com multiplicidade 2, além de \r
,e^alpha tcos(beta t) e ,e^alpha tsin(beta t),\r
devemos incluir as soluções multiplicadas por t: \r
,t,e^alpha tcos(beta t) e ,t,e^alpha tsin(beta t).

Passo 5

Reunindo todas as soluções independentes, a solução geral é\r
y(t) = e^12 tl(C1cosl(tfracraiz192tr) + C2sinl(tfracraiz192tr)r) + t,e^12 tl(C3cosl(tfracraiz192tr) + C4sinl(tfracraiz192tr)r), \r
onde C1,C2,C3,C4 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(t) = e^12 tl(C1cosl(tfracraiz192tr) + C2sinl(tfracraiz192tr)r) + t,e^12 tl(C3cosl(tfracraiz192tr) + C4sinl(tfracraiz192tr)r)

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