Encontre a solução das seguintes EDO não homogêneas
(D-2) y(t)=(t+t^2) e^-t

Passo 1

O enunciado apresenta a EDO não homogênea
(D-2)y(t)=l(t+t^2r)e^-t
que em forma expandida é
y'(t)-2y(t)=(t+t^2)e^-t
O conteúdo é equação diferencial linear de primeira ordem. Vamos usar o método dos coeficientes a determinar, encontrando primeiro a solução homogênea e depois uma particular.

Passo 2

Para a parte homogênea resolvemos
y'(t)-2y(t)=0
Essa é separável e sua solução é
yh(t)=C,e^2t

Passo 3

Como o termo não homogêneo é um polinômio de grau 2 multiplicado por e^-t, e e^-t não anula a homogênea, fazemos o ansatz
yp(t)=(A,t^2+B,t+C),e^-t

Passo 4

Derivando o ansatz obtemos
yp'(t)=l(2A,t+Br)e^-t-(A,t^2+B,t+C)e^-t =l(-A,t^2+(2A-B)t+(B-C)r)e^-t
e então
(D-2)yp=yp'-2yp =l(-3A,t^2+(2A-3B)t+(B-3C)r)e^-t

Passo 5

Igualando a
l(-3A,t^2+(2A-3B)t+(B-3C)r)e^-t=(t^2+t)e^-t
vemos que
-3A=1, 2A-3B=1, B-3C=0
Dessa forma
A=-tfrac13, B=-tfrac59, C=-tfrac527

Passo 6

A solução particular fica
yp(t)=l(-tfrac13t^2-tfrac59t-tfrac527r)e^-t
e a solução geral é a soma da homogênea com a particular:
y(t)=yh(t)+yp(t)

Resposta

y(t)=C,e^2t-l(tfrac13t^2+tfrac59t+tfrac527r)e^-t

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