Encontre a solução para as seguintes EDOs lineares de segunda ordem.
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Passo 1
Beleza, então a gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) linear de segunda ordem: $ y’’ - 5y’ + 6y = 0 $. O que a gente precisa fazer é encontrar a solução dessa equação, ou seja, descobrir quais funções $ y(x) $ satisfazem essa equação. Para isso, vamos usar o método das equações características, que é uma maneira eficiente de resolver EDOs lineares com coeficientes constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a equação característica associada à EDO. Isso é feito substituindo $ y = e^{rx} $ na equação diferencial. Quando fazemos isso, cada derivada de $ y $ traz um fator de $ r $. Ou seja:
Substituindo na EDO:
Como $ e^{rx} $ nunca é zero, podemos dividir tudo por ele e sobra a equação característica:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação quadrática $ r^2 - 5r + 6 = 0 $ para encontrar os valores de $ r $. Podemos fatorar essa equação:
Assim, as soluções são:
Passo 4
Tendo as raízes $ r_1 $ e $ r_2 $, podemos escrever a solução geral da EDO. Como as raízes são reais e distintas, a solução geral é uma combinação linear das exponenciais correspondentes a cada raiz:
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que podem ser determinadas se tivermos condições iniciais.
Resposta
A solução geral da EDO é $ y(x) = C_1 e^{2x} + C_2 e^{3x} $.