Encontre a solução das seguintes equações:
lx+(x^2+4) y y^prime=0 y(4)=0

Passo 1

O enunciado pede a solução da equação diferencial com condição inicial
x + (x^2+4),y,dydx = 0, y(4)=0
Isso é uma EDO de variáveis separáveis; vamos usar separação de variáveis e integrar.

Passo 2

Reescrevendo
(x^2+4),y,dydx = -,x
e isolando y,dy e dx, obtemos
y,dy = -xx^2+4,dx

Passo 3

Integramos os dois lados:
integral y,dy = integral -xx^2+4,dx
No lado esquerdo
integral y,dy = y^22
No lado direito, fazemos u = x^2+4, du = 2x,dx, logo
integral -xx^2+4,dx = -12 integral duu = -12 lnl(x^2+4r) + K

Passo 4

Igualando os resultados e multiplicando por 2, temos a solução geral implícita
y^2 = -lnl(x^2+4r) + C

Passo 5

Aplicando a condição y(4)=0:
0^2 = -ln(4^2+4) + C Longrightarrow C = ln(20)
Portanto
y^2 = ln(20) - lnl(x^2+4r) = ln!l(20x^2+4r)

Passo 6

Extraindo y, a solução explícita é
y(x) = pm raizln!l(20x^2+4r)
O sinal pode ser “ +” ou “ -” pois ambos satisfazem y(4)=0.

Resposta

y^2 = ln!l(20x^2+4r), y(x) = pm raizln!l(20x^2+4r)

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