Encontre a solução das seguintes equações diferenciais:
\cos y d x-\left(x \operatorname{sen} y-y^{2}\right) d y=0

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial
\cos y\,dx -\bigl(x\sin y - y^2\bigr)\,dy = 0,
que está na forma
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0
com
M(x,y)=\cos y, \quad N(x,y)=-x\sin y + y^2.
O conteúdo aqui é o de ODE exata: vamos verificar se é exata e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial \varphi(x,y) tal que \phi_x=M e \phi_y=N.

Passo 2

Verificamos a exatidão calculando as derivadas parciais
\frac{\partial M}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}(\cos y) =-\sin y,
\frac{\partial N}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}(-x\sin y + y^2) =-\sin y.
Como \partial M/\partial y=\partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 3

Procuramos \varphi(x,y) tal que \phi_x=M=\cos y. Integramos em relação a x:
\varphi(x,y) =\int \cos y\,dx =x\cos y + h(y),
onde h(y) é uma função de integração que depende só de y.

Passo 4

Para determinar h(y), usamos \phi_y=N. Calculamos primeiro
\phi_y =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x\cos y + h(y)\bigr) =-x\sin y + h'(y),
e igualamos a N=-x\sin y+y^2. Assim
- x\sin y + h'(y) = -x\sin y + y^2 \quad\Longrightarrow\quad h'(y)=y^2.
Integramos em y:
h(y)=\int y^2\,dy=\frac{y^3}{3}.
Logo
\varphi(x,y)=x\cos y + \frac{y^3}{3}.

Resposta

A solução geral, em forma implícita, é
x\cos y + \frac{y^3}{3} = C,
onde C é constante arbitrária.

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