Encontre a solução das seguintes equações diferenciais:
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial
que está na forma
com
O conteúdo aqui é o de ODE exata: vamos verificar se é exata e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial
tal que
e
.
Passo 2
Verificamos a exatidão calculando as derivadas parciais
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Procuramos
tal que
. Integramos em relação a
:
onde
é uma função de integração que depende só de
.
Passo 4
Para determinar
, usamos
. Calculamos primeiro
e igualamos a
. Assim
Integramos em
:
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Resposta
A solução geral, em forma implícita, é
onde
é constante arbitrária.