Encontre a solução das seguintes equações diferenciais:
\left(x^{3}-y^{3}\right) d x+x y^{2} d y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução da equação diferencial \bigl(x^{3}-y^{3}\bigr)\,dx + x\,y^{2}\,dy = 0.
Vemos que as funções M(x,y)=x^3-y^3 e N(x,y)=x\,y^2 são homogêneas de grau 3, então usaremos a substituição y=u\,x para reduzir a equação.

Passo 2

Verificamos a substituição
y = u\,x,\qquad dy = u\,dx + x\,du
e calculamos
x^3 - y^3 = x^3 - u^3x^3 = x^3(1-u^3), \qquad x\,y^2 = x\,(u x)^2 = u^2 x^3.

Passo 3

Substituindo em \bigl(x^3-y^3\bigr)\,dx + x\,y^2\,dy = 0
obtém-se
x^3(1-u^3)\,dx + u^2 x^3\bigl(u\,dx + x\,du\bigr) = 0.

Passo 4

Expandindo e agrupando termos:
x^3(1-u^3)\,dx + u^3x^3\,dx + u^2x^4\,du = x^3\,dx + u^2x^4\,du = 0.
Dividindo por x^3 (com x\neq0) resulta
\frac{dx}{x} + u^2\,du = 0,
que é separável.

Passo 5

Integramos cada termo:
\int \frac{dx}{x} + \int u^2\,du = C \quad\Longrightarrow\quad \ln|x| + \frac{u^3}{3} = C.

Resposta

Voltando a u=\tfrac{y}{x}, a solução implícita é
\ln|x| + \frac{1}{3}\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr)^3 = C,
ou equivalentemente
\Bigl(\tfrac{y}{x}\Bigr)^3 + 3\ln|x| = C_1.

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