Encontre a solução das seguintes equações diferenciais:
x(6 x y+5) d x+\left(2 x^{3}+3 y\right) d y=0

Passo 1

O enunciado dá a diferencial
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0
com
M(x,y) = x\bigl(6xy+5\bigr)=6x^2y+5x
e
N(x,y)=2x^3+3y.
O conteúdo aqui é resolução de equações diferenciais exatas: vamos verificar se ela é exata e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial \Psi(x,y) tal que
\frac{\partial \Psi}{\partial x}=M, \quad \frac{\partial \Psi}{\partial y}=N.

Passo 2

Testamos a condição de exatidão comparando as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}(6x^2y+5x) =6x^2,
\frac{\partial N}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}(2x^3+3y) =6x^2.
Como \partial M/\partial y=\partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 3

Para achar \Psi(x,y), integramos M em relação a x, tratando y como constante:
\Psi(x,y) =\int (6x^2y+5x)\,dx =6y\int x^2\,dx +5\int x\,dx =6y\cdot\frac{x^3}{3}+5\cdot\frac{x^2}{2}+h(y),
ou seja
\Psi(x,y)=2x^3y+\frac{5}{2}x^2+h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender de y.

Passo 4

Agora impomos que
\frac{\partial \Psi}{\partial y} =2x^3 + h'(y)
deve ser igual a N(x,y)=2x^3+3y. Daí
h'(y)=3y \quad\Longrightarrow\quad h(y)=\frac{3}{2}y^2 + C_0.

Passo 5

Substituindo h(y) em \Psi(x,y) e agrupando a constante, obtemos a solução implícita
\Psi(x,y) =2x^3y+\frac{5}{2}x^2+\frac{3}{2}y^2 =C,
com C constante arbitrária.

Resposta

2x^3y+\frac{5}{2}x^2+\frac{3}{2}y^2=C,
ou multiplicando tudo por 2,
4x^3y+5x^2+3y^2=C.

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