Encontre a solução das seguintes equações diferenciais:
Passo 1
O enunciado pede a solução da equação diferencial
Isso é um caso típico de equação exata, então vamos usar o teste de exatidão e em seguida encontrar a função potencial cuja diferencial total zera exatamente essa combinação.
Passo 2
Escrevemos no formato
comparando com a equação original notamos
Passo 3
Verificamos a condição de exatidão, isto é, se
Calculando,
Como ambas derivadas parciais são iguais, a equação é exata.
Passo 4
Por exatidão, existe uma função potencial
tal que
Integramos
em relação a
:
onde
é uma “constante” de integração que pode depender só de
.
Passo 5
Agora exigimos
Isso implica
, logo
Portanto
Passo 6
A solução geral da equação é dada por
ou seja,
Podemos multiplicar tudo por 2 para simplificar:
mas uma forma mais bonita é:
onde
é constante arbitrária.
Resposta
A solução implícita geral é
com
constante.