Encontre a solução das seguintes equações diferenciais:
(x+y) d y-(x-y) d x=0

Passo 1

O enunciado pede a solução da equação diferencial
(x+y)\,dy \;-\;(x-y)\,dx \;=\;0
Isso é um caso típico de equação exata, então vamos usar o teste de exatidão e em seguida encontrar a função potencial cuja diferencial total zera exatamente essa combinação.

Passo 2

Escrevemos no formato
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0
comparando com a equação original notamos
M(x,y) = -(x - y), \quad N(x,y) = x + y.

Passo 3

Verificamos a condição de exatidão, isto é, se
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}.
Calculando,
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl[-(x-y)\bigr] = 1, \quad \frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x+y) = 1.
Como ambas derivadas parciais são iguais, a equação é exata.

Passo 4

Por exatidão, existe uma função potencial \Psi(x,y) tal que
\frac{\partial \Psi}{\partial x} = M(x,y) \quad\text{e}\quad \frac{\partial \Psi}{\partial y} = N(x,y).
Integramos \partial \Psi/\partial x = -(x-y) em relação a x:
\Psi(x,y) = \int \bigl[-(x-y)\bigr]\,dx = -\frac{x^2}{2} + x\,y + h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender só de y.

Passo 5

Agora exigimos
\frac{\partial \Psi}{\partial y} = x + h'(y) \;\stackrel{!}{=}\; N(x,y) = x + y.
Isso implica h'(y)=y, logo
h(y) = \int y\,dy = \frac{y^2}{2}.
Portanto
\Psi(x,y) = -\frac{x^2}{2} + x\,y + \frac{y^2}{2}.

Passo 6

A solução geral da equação é dada por
\Psi(x,y) = C,
ou seja,
-\frac{x^2}{2} + x\,y + \frac{y^2}{2} = C.
Podemos multiplicar tudo por 2 para simplificar:
-y^2 - x^2 + 2xy = C',
mas uma forma mais bonita é:
y^2 + 2xy - x^2 = K,
onde K é constante arbitrária.

Resposta

A solução implícita geral é
y^2 + 2xy - x^2 = K,
com K constante.

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