Encontre a solução das seguintes equações diferenciais:
(x+y) d x+(x-2 y) d y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
(x+y)\,dx + (x-2y)\,dy = 0
Esse tipo de equação pode ser exata se existir uma função F(x,y) tal que
\frac{\partial F}{\partial x} = x+y \quad\text{e}\quad \frac{\partial F}{\partial y} = x-2y.
O conteúdo aqui é o de equações diferenciais exatas: verificamos exatidão e, se for exata, achamos F.

Passo 2

Verificamos a exatidão comparando
M(x,y)=x+y,\quad N(x,y)=x-2y.
Calculamos
\frac{\partial M}{\partial y} = 1 \quad\text{e}\quad \frac{\partial N}{\partial x} = 1.
Como \partial M/\partial y = \partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 3

Procuramos F(x,y) satisfazendo \partial F/\partial x = M(x,y). Integramos M em relação a x:
F(x,y) = \int (x+y)\,dx = \frac{x^2}{2} + x\,y + h(y),
onde h(y) é função arbitrária de y.

Passo 4

Agora exigimos \partial F/\partial y = N(x,y). Calculamos
\frac{\partial F}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\tfrac{x^2}{2}+xy+h(y)\Bigr) = x + h'(y).
Igualamos a N(x,y)=x-2y:
x + h'(y) = x - 2y \quad\Longrightarrow\quad h'(y) = -2y.

Passo 5

Integramos h'(y) para achar h(y):
h(y) = \int (-2y)\,dy = -y^2 + C_1.
Absorvemos a constante C_1 em F geral.

Passo 6

Substituindo h(y) em F(x,y), obtemos
F(x,y) = \frac{x^2}{2} + x\,y - y^2.
A solução implícita geral é
F(x,y) = C,
isto é,
\frac{x^2}{2} + x\,y - y^2 = C.

Resposta

\boxed{\frac{x^2}{2} + x\,y - y^2 = C,}
com C constante de integração.

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