Encontre a solução das seguintes equações diferenciais:
\frac{y^{2} d y}{x^{3} d x}=\frac{1+y^{3}}{3+x^{4}}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{y^{2}\,dy}{x^{3}\,dx} = \frac{1+y^{3}}{3+x^{4}},
que é uma equação de variáveis separáveis. Para resolver, vamos isolar todos os termos em y junto de dy e todos os termos em x junto de dx, e então integrar cada um dos lados.

Passo 2

Separamos as variáveis multiplicando ambos os lados por \frac{3+x^{4}}{y^{2}} e por dx:
\frac{y^{2}}{1+y^{3}}\,dy = \frac{x^{3}}{3+x^{4}}\,dx.

Passo 3

Integramos o lado em y. Note que, com a substituição u = 1 + y^{3}, temos du = 3y^{2}\,dy, ou seja, y^{2}\,dy = \tfrac{1}{3}\,du. Logo,
\int \frac{y^{2}}{1+y^{3}}\,dy = \int \frac{1}{u}\,\frac{du}{3} = \frac{1}{3}\int \frac{du}{u} = \frac{1}{3}\ln\bigl|u\bigr| + C_{1} = \frac{1}{3}\ln\bigl|1+y^{3}\bigr| + C_{1}.

Passo 4

Integramos o lado em x. Com a substituição v = 3 + x^{4}, vem dv = 4x^{3}\,dx, ou seja, x^{3}\,dx = \tfrac{1}{4}\,dv. Assim,
\int \frac{x^{3}}{3+x^{4}}\,dx = \int \frac{1}{v}\,\frac{dv}{4} = \frac{1}{4}\int \frac{dv}{v} = \frac{1}{4}\ln\bigl|v\bigr| + C_{2} = \frac{1}{4}\ln\bigl|3+x^{4}\bigr| + C_{2}.

Passo 5

Igualamos as primitivadas obtidas, absorvendo C_{1}-C_{2} num único constante C:
\frac{1}{3}\ln\bigl|1+y^{3}\bigr| = \frac{1}{4}\ln\bigl|3+x^{4}\bigr| + C.
Multiplicando por 12 e exponenciando, obtemos
4\ln\bigl|1+y^{3}\bigr| =3\ln\bigl|3+x^{4}\bigr| + 12C \quad\Longrightarrow\quad \bigl(1+y^{3}\bigr)^{4} = K\,(3+x^{4})^{3},
onde K = e^{12C} é constante arbitrária.

Resposta

\boxed{\;(1+y^{3})^{4} = K\,(3+x^{4})^{3},\quad K\in\mathbb{R}\setminus\{0\}.}

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