Encontre a solução das seguintes equações diferenciais:
\frac{4 x}{5 x^{2}-5} d x+\frac{2 y}{y^{2}-1} d y=0

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial
\frac{4x}{5x^{2}-5}\,dx+\frac{2y}{y^{2}-1}\,dy=0
e pede sua solução geral. Trata–se de uma equação de variáveis separáveis: conseguimos escrever todos os termos em x de um lado e os termos em y do outro.

Passo 2

Separe as variáveis, isolando o dx com função de x e o dy com função de y. Começamos por escrever
\frac{4x}{5(x^{2}-1)}\,dx=-\frac{2y}{y^{2}-1}\,dy.
Assim temos
\int \frac{4x}{5(x^{2}-1)}\,dx = \int -\frac{2y}{y^{2}-1}\,dy.

Passo 3

Calcule cada integral separadamente.
Para o lado esquerdo:
\int \frac{4x}{5(x^{2}-1)}\,dx =\frac{4}{5}\int \frac{x}{x^{2}-1}\,dx =\frac{4}{5}\cdot\frac{1}{2}\ln\bigl|x^{2}-1\bigr| =\frac{2}{5}\ln\bigl|x^{2}-1\bigr|.
Para o lado direito:
\int -\frac{2y}{y^{2}-1}\,dy =-2\int \frac{y}{y^{2}-1}\,dy =-2\cdot\frac{1}{2}\ln\bigl|y^{2}-1\bigr| =-\ln\bigl|y^{2}-1\bigr|.
Logo a igualdade das integrais dá
\frac{2}{5}\ln\bigl|x^{2}-1\bigr| =-\ln\bigl|y^{2}-1\bigr|+C,
onde C é constante de integração.

Passo 4

Reorganize para obter uma forma implícita padrão. Some \ln|y^{2}-1| em ambos os lados e multiplique tudo por 5:
2\ln\bigl|x^{2}-1\bigr|+5\ln\bigl|y^{2}-1\bigr|=C',
com C'=5C. Aplicando exponenciação, fica
\bigl|x^{2}-1\bigr|^{2}\,\bigl|y^{2}-1\bigr|^{5} =e^{C'}=K,
em que K é uma constante arbitrária não nula. Removendo valor absoluto via constante geral, obtemos a solução implícita.

Resposta

(x^{2}-1)^{2}\,(y^{2}-1)^{5}=C,
onde C é constante de integração.

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