Encontre a solução das seguintes equações diferenciais:
\frac{d y}{d x}=\frac{x y+x}{x y+y}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
\frac{dy}{dx}=\frac{x\,y+x}{x\,y+y}.
Este é um caso de equação de variáveis separáveis, pois dá para escrever o lado direito como produto de uma função só de x por outra só de y. Vamos usar integração em ambos os lados.

Passo 2

Primeiro simplificamos o quociente:
\frac{x\,y+x}{x\,y+y} =\frac{x(y+1)}{y(x+1)} =\frac{x}{x+1}\,\cdot\frac{y+1}{y}.
Logo
\frac{dy}{dx} =\frac{x}{x+1}\,\frac{y+1}{y}.

Passo 3

Separamos as variáveis levando todos os termos em y para a esquerda e em x para a direita:
\frac{y}{y+1}\,dy =\frac{x}{x+1}\,dx.

Passo 4

Agora integramos cada lado:
\int \frac{y}{y+1}\,dy \;=\;\int \frac{x}{x+1}\,dx.
Note que
\frac{y}{y+1} =1-\frac{1}{y+1}, \quad \frac{x}{x+1} =1-\frac{1}{x+1}.
Assim
\int\Bigl(1-\frac{1}{y+1}\Bigr)dy =y-\ln\bigl|y+1\bigr|, \quad \int\Bigl(1-\frac{1}{x+1}\Bigr)dx =x-\ln\bigl|x+1\bigr|.
Igualando e acrescentando constante C, fica
y-\ln\bigl|y+1\bigr| = x-\ln\bigl|x+1\bigr|+C.

Passo 5

Podemos reescrever a solução implícita de forma mais compacta. Por exemplo, isolando os termos logarítmicos,
y - x = \ln\!\biggl|\frac{y+1}{x+1}\biggr| + C,
ou ainda exponenciando,
\frac{y+1}{x+1} =e^{\,y-x+C} =K\,e^{\,y-x},
onde K=e^C é constante arbitrária.

Resposta

A solução geral é dada implicitamente por
y-\ln\bigl|y+1\bigr| = x-\ln\bigl|x+1\bigr|+C,
ou equivalentemente
y - x = \ln\!\biggl|\frac{y+1}{x+1}\biggr| + C.

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