Encontre a solução das seguintes equações diferenciais:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial na forma
Trata-se de uma equação diferencial de primeira ordem em forma diferencial
. Vamos verificar se é exata e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial
tal que
.
Passo 2
Identificamos
Para exatidão precisamos de
Calculemos:
Como são iguais, a equação é exata.
Passo 3
Existe
tal que
Integramos em relação a
:
onde
é uma “constante” de integração dependendo só de
.
Passo 4
Agora exigimos que
Por outro lado,
Igualando:
Integramos
:
Podemos absorver
na constante final.
Passo 5
Substituindo
em
obtemos a função potencial completa:
A solução geral da equação diferencial é dada implicitamente por