Encontre a solução das seguintes equações diferenciais:
\left(x^{2}-2 y^{2}\right) d y+2 x y d x=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial na forma
\bigl(x^{2}-2y^{2}\bigr)\,dy + 2xy\,dx = 0
Trata-se de uma equação diferencial de primeira ordem em forma diferencial M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy=0. Vamos verificar se é exata e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial \varphi(x,y) tal que d\varphi=0.

Passo 2

Identificamos
M(x,y)=2xy, \quad N(x,y)=x^2-2y^2.
Para exatidão precisamos de
\frac{\partial M}{\partial y} \;=\; \frac{\partial N}{\partial x}.
Calculemos:
\frac{\partial M}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}(2xy)=2x, \quad \frac{\partial N}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}(x^2-2y^2)=2x.
Como são iguais, a equação é exata.

Passo 3

Existe \varphi(x,y) tal que
\frac{\partial \varphi}{\partial x}=M(x,y)=2xy.
Integramos em relação a x:
\varphi(x,y)=\int 2xy\,dx = x^2y + h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração dependendo só de y.

Passo 4

Agora exigimos que
\frac{\partial \varphi}{\partial y} = N(x,y)=x^2-2y^2.
Por outro lado,
\frac{\partial \varphi}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^2y + h(y)\bigr) =x^2 + h'(y).
Igualando:
x^2 + h'(y) = x^2 - 2y^2 \quad\Longrightarrow\quad h'(y) = -2y^2.
Integramos h'(y):
h(y)=\int (-2y^2)\,dy = -\tfrac{2}{3}y^3 + C_1.
Podemos absorver C_1 na constante final.

Passo 5

Substituindo h(y) em \varphi obtemos a função potencial completa:
\varphi(x,y) = x^2y - \tfrac{2}{3}y^3.
A solução geral da equação diferencial é dada implicitamente por
\varphi(x,y)=C \;\Longrightarrow\; x^2y - \tfrac{2}{3}y^3 = C.

Resposta

x^2y - \frac{2}{3}y^3 = C.

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