Encontre a solução das seguintes equações diferenciais:
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
e pede sua solução geral. Vamos transformá-la numa forma exata, ou seja, escrever
e verificar se existe uma função
tal que
e
.
Passo 2
Identificamos
Multiplicamos a equação por
para eliminar o denominador em
, obtendo
Agora definimos
de modo que a equação fica
.
Passo 3
Verificamos a exatidão:
Como
, a equação é exata.
Passo 4
Existe
tal que
Integramos em relação a
:
onde
é função a determinar.
Agora usamos
Agora usamos
Logo
Fazendo
, vem
, então
Passo 5
Reunindo, a função potencial é
e a solução geral da equação exata é
Resposta
ou equivalentemente