Encontre a solução das seguintes equações diferenciais:
\frac{\operatorname{sen}(5 x)}{\left(3 y^{2}+1\right) d y}+\frac{e^{y^{3}+y+5}}{d x}=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
\frac{\sin(5x)}{3y^2+1}\,dx \;+\; e^{\,y^3+y+5}\,dy \;=\;0
e pede sua solução geral. Vamos transformá-la numa forma exata, ou seja, escrever
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0
e verificar se existe uma função F(x,y) tal que F_x = M e F_y = N.

Passo 2

Identificamos
M(x,y) = \frac{\sin(5x)}{3y^2+1}, \qquad N(x,y) = e^{\,y^3+y+5}.
Multiplicamos a equação por (3y^2+1) para eliminar o denominador em M, obtendo
\sin(5x)\,dx + (3y^2+1)\,e^{\,y^3+y+5}\,dy = 0.
Agora definimos
\tilde M(x,y) = \sin(5x), \qquad \tilde N(x,y) = (3y^2+1)\,e^{\,y^3+y+5},
de modo que a equação fica \tilde M\,dx + \tilde N\,dy = 0.

Passo 3

Verificamos a exatidão:
\frac{\partial \tilde M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl[\sin(5x)\bigr] = 0, \qquad \frac{\partial \tilde N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl[(3y^2+1)e^{y^3+y+5}\bigr] = 0.
Como \tilde M_y = \tilde N_x, a equação é exata.

Passo 4

Existe F(x,y) tal que
F_x(x,y) = \tilde M(x,y) = \sin(5x).
Integramos em relação a x:
F(x,y) = \int \sin(5x)\,dx = -\frac{1}{5}\cos(5x) + h(y),
onde h(y) é função a determinar.
Agora usamos
F_y(x,y) = -\frac{1}{5}\underbrace{\frac{\partial}{\partial y}\cos(5x)}_{0} + h'(y) = h'(y) \;\overset{!}{=}\; \tilde N(x,y) = (3y^2+1)e^{\,y^3+y+5}.
Logo
h'(y) = (3y^2+1)\,e^{\,y^3+y+5} \quad\Longrightarrow\quad h(y) = \int (3y^2+1)\,e^{\,y^3+y+5}\,dy.
Fazendo u = y^3+y+5, vem du = (3y^2+1)\,dy, então
h(y) = \int e^u\,du = e^u + C = e^{\,y^3+y+5} + C.

Passo 5

Reunindo, a função potencial é
F(x,y) = -\frac{1}{5}\cos(5x) + e^{\,y^3+y+5}
e a solução geral da equação exata é
F(x,y) = \text{constante}.

Resposta

-\frac{1}{5}\cos(5x) + e^{\,y^3+y+5} = C,
ou equivalentemente
e^{\,y^3+y+5} - \frac{1}{5}\cos(5x) = C.

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