Encontre a solução das seguintes equações diferenciais:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
Estamos no tema de equações diferenciais em forma diferencial
e vamos procurar um fator integrante em função só de
.
Passo 2
Escrevemos
Calculamos
e
que depende apenas de
. Logo existe um fator integrante
.
Passo 3
O fator integrante em função de
é
Multiplicamos toda a equação diferencial por
:
Chamemos
Passo 4
Verificamos que agora é exata:
Existe uma função potencial
tal que
Integramos em
:
Passo 5
Agora derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Logo
e integrando em
:
Assim
Passo 6
A solução geral é dada por
isto é,
Multiplicando por
e reorganizando,
ou ainda
Resposta
com
constante arbitrária.