Encontre a solução das seguintes equações diferenciais:
x y+\left(2 x^{2}+3 y^{2}-20\right) \frac{d y}{d x}=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
x\,y + \bigl(2x^2 + 3y^2 - 20\bigr)\,\frac{dy}{dx} = 0.
Estamos no tema de equações diferenciais em forma diferencial
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0,
e vamos procurar um fator integrante em função só de y.

Passo 2

Escrevemos
M(x,y) = x\,y, \qquad N(x,y) = 2x^2 + 3y^2 - 20.
Calculamos
\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y} = 4x - x = 3x,
e
\frac{3x}{M(x,y)} = \frac{3x}{x\,y} = \frac{3}{y},
que depende apenas de y. Logo existe um fator integrante \mu(y).

Passo 3

O fator integrante em função de y é
\mu(y) = \exp\!\Bigl(\int \frac{3}{y}\,dy\Bigr) = \exp\bigl(3\ln|y|\bigr) = y^3.
Multiplicamos toda a equação diferencial por y^3:
x\,y^4\,dx + \bigl(2x^2 + 3y^2 - 20\bigr)y^3\,dy = 0.
Chamemos
\widetilde M = x\,y^4, \qquad \widetilde N = \bigl(2x^2 + 3y^2 - 20\bigr)y^3.

Passo 4

Verificamos que agora é exata:
\frac{\partial \widetilde M}{\partial y} = 4x\,y^3, \qquad \frac{\partial \widetilde N}{\partial x} = 4x\,y^3.
Existe uma função potencial \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x} = \widetilde M = x\,y^4.
Integramos em x:
\Phi(x,y) = \int x\,y^4\,dx = \tfrac12\,x^2\,y^4 + h(y).

Passo 5

Agora derivamos \Phi em relação a y e igualamos a \widetilde N:
\frac{\partial \Phi}{\partial y} = 2x^2\,y^3 + h'(y) \stackrel!= (2x^2 + 3y^2 - 20)\,y^3 = 2x^2\,y^3 + 3y^5 - 20y^3.
Logo
h'(y) = 3y^5 - 20y^3,
e integrando em y:
h(y) = \int (3y^5 - 20y^3)\,dy = \tfrac12\,y^6 - 5\,y^4.
Assim
\Phi(x,y) = \tfrac12\,x^2\,y^4 + \tfrac12\,y^6 - 5\,y^4.

Passo 6

A solução geral é dada por
\Phi(x,y) = C,
isto é,
\tfrac12\,x^2\,y^4 + \tfrac12\,y^6 - 5\,y^4 = C.
Multiplicando por 2 e reorganizando,
x^2\,y^4 + y^6 - 10\,y^4 = \tilde C,
ou ainda
y^4\bigl(x^2 + y^2 - 10\bigr) = \tilde C.

Resposta

y^4\bigl(x^2 + y^2 - 10\bigr) = C,
com C constante arbitrária.

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