Resolva as equações diferenciais a seguir por separação de variáveis.
sec (x) d y=x cot (y) d x

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
sec(x),dy = xcot(y),dx
O conteúdo é EDO por separação de variáveis: vamos isolar fatores que dependem só de y de um lado e só de x do outro.

Passo 2

Dividindo ambos os lados por cot(y) e por sec(x), obtemos
dycot(y) ;=;xsec(x),dx
Como tfrac1cot(y)=tan(y) e tfracxsec(x)=xcos(x), isso fica
integral tan(y),dy ;=;integral xcos(x),dx

Passo 3

Calculamos cada integral separadamente.
No lado de y:
integral tan(y),dy = -lnl|cos(y)r|
No lado de x fazemos integração por partes com u=x, dv=cos(x),dx:
integral xcos(x),dx = xsin(x) - integral 1cdotsin(x),dx = xsin(x) + cos(x)

Passo 4

Igualando e incluindo a constante C,
-lnl|cos(y)r| = xsin(x) + cos(x) + C
Multiplicando por -1 e chamando C'=-C,
lnl|cos(y)r| = -,xsin(x) - cos(x) + C'
Exponenciando e definindo K=e^C',
cos(y) = K,e^-,xsin(x)-cos(x)

Passo 5

Isolando y, obtemos a solução geral
boxedy(x) = arccosl(K,e^-,xsin(x)-cos(x)r),
onde K é a constante de integração.

Resposta

y(x) = arccosl(K,e^-,xsin(x)-cos(x)r), onde K é constante.

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