Resolva as equações diferenciais a seguir por separação de variáveis.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
O conteúdo é EDO por separação de variáveis: vamos isolar fatores que dependem só de de um lado e só de do outro.
Passo 2
Dividindo ambos os lados por e por , obtemos
Como e , isso fica
Passo 3
Calculamos cada integral separadamente.
No lado de :
No lado de x fazemos integração por partes com u=x, dv=cos(x),dx:
integral xcos(x),dx = xsin(x) - integral 1cdotsin(x),dx = xsin(x) + cos(x)
Passo 4
Igualando e incluindo a constante C,
-lnl|cos(y)r| = xsin(x) + cos(x) + C
Multiplicando por -1 e chamando C'=-C,
lnl|cos(y)r| = -,xsin(x) - cos(x) + C'
Exponenciando e definindo K=e^C',
cos(y) = K,e^-,xsin(x)-cos(x)
Passo 5
Isolando y, obtemos a solução geral
boxedy(x) = arccosl(K,e^-,xsin(x)-cos(x)r),
onde K é a constante de integração.
Resposta
y(x) = arccosl(K,e^-,xsin(x)-cos(x)r), onde K é constante.