Obtenha a solução de cada um dos problemas de valor inicial a seguir.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial de primeira ordem. A gente tem a equação
com a condição inicial
. O que vamos precisar aqui é da técnica de resolver equações lineares de primeira ordem usando o fator integrante.
Passo 2
Primeiro, identificamos que a equação está na forma padrão
, onde
e
. Essa forma nos ajuda a aplicar o método do fator integrante para encontrar a solução geral.
Passo 3
Vamos calcular o fator integrante, que é dado por
. No nosso caso,
, então:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Isso simplifica para:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo é simplesmente
, e a do lado direito é
, onde
é a constante de integração. Então temos:
Passo 6
Para encontrar
, dividimos ambos os lados por
:
Essa é a solução geral da equação diferencial.
Passo 7
Agora usamos a condição inicial
para encontrar o valor de
. Substituindo
e
:
Simplificando:
Resposta
A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é: