Obtenha a solução de cada um dos problemas de valor inicial a seguir.
y^prime+2 y=1, y(0)=52

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial de primeira ordem. A gente tem a equação y' + 2y = 1 com a condição inicial y(0) = 52 . O que vamos precisar aqui é da técnica de resolver equações lineares de primeira ordem usando o fator integrante.

Passo 2

Primeiro, identificamos que a equação está na forma padrão y' + P(x)y = Q(x) , onde P(x) = 2 e Q(x) = 1 . Essa forma nos ajuda a aplicar o método do fator integrante para encontrar a solução geral.

Passo 3

Vamos calcular o fator integrante, que é dado por mu(x) = e^integral P(x) dx . No nosso caso, P(x) = 2 , então:
mu(x) = e^integral 2 dx = e^2x

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante e^2x :
e^2x y' + 2 e^2x y = e^2x cdot 1
Isso simplifica para:
ddx(e^2x y) = e^2x

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a x :
integral ddx(e^2x y) dx = integral e^2x dx
A integral do lado esquerdo é simplesmente e^2x y , e a do lado direito é 12 e^2x + C , onde C é a constante de integração. Então temos:
e^2x y = 12 e^2x + C

Passo 6

Para encontrar y , dividimos ambos os lados por e^2x :
y = 12 + C e^-2x
Essa é a solução geral da equação diferencial.

Passo 7

Agora usamos a condição inicial y(0) = 52 para encontrar o valor de C . Substituindo x = 0 e y = 52 :
52 = 12 + C e^0
Simplificando:
52 = 12 + C
C = 52 - 12 = 2

Resposta

A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:
y = 12 + 2 e^-2x

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