Prove que:
sumk=1^+infty 2 k-13^k=1
Sugestão: 2 k-1=3 k-(k+1) Rightarrow 2 k-13^k=k3^k-1-k+13^k

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a série infinita
sumk=1^+infty 2k-13^k
converge e tem soma igual a 1. O conteúdo aqui é soma de série infinita via método telescópico, e vamos usar a sugestão dada para reescrever o termo genérico como diferença de duas frações.

Passo 2

Usando a sugestão,
2k-1 = 3k - (k+1)
logo
2k-13^k = 3k - (k+1)3^k = k3^k-1 ;-;k+13^k

Passo 3

Defina a soma parcial
SN = sumk=1^N2k-13^k = sumk=1^Nl(k3^k-1 - k+13^kr)
Observe que, ao expandir,
SN = l(13^0-23^1r) +l(23^1-33^2r) +cdots+ l(N3^N-1-N+13^Nr),
todos os termos internos cancelam em telescópio, sobrando apenas
SN = 13^0 ;-;N+13^N = 1 - N+13^N

Passo 4

Como limNtoinftyN+13^N=0, temos
sumk=1^infty2k-13^k =limNtoinftySN =1-0 =1

Resposta

A soma da série é 1.

Exercícios relacionados