Utilize coordenadas polares para determinar o volume de uma esfera de raio
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente calcular o volume de uma esfera com raio
usando coordenadas polares. Isso significa que vamos usar cálculo integral em coordenadas esféricas para achar esse volume. Para resolver isso, vamos precisar entender como configurar uma integral tripla em coordenadas esféricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são coordenadas esféricas. Em vez de usar
,
, e
, a gente descreve qualquer ponto no espaço usando três valores:
-
: a distância do ponto até a origem. -
: o ângulo polar, que é o ângulo entre a linha que liga o ponto à origem e o eixo vertical . -
: o ângulo azimutal, que é o ângulo no plano a partir do eixo .
Passo 3
Em coordenadas esféricas, o elemento de volume diferencial
(que é uma “pedaço” infinitesimal de volume) é dado por:
Esse fator
é importante porque ajusta a medida do volume ao mudar de coordenadas cartesianas para esféricas.
Passo 4
Agora, para calcular o volume da esfera, vamos configurar nossa integral. Sabemos que:
-
varia de até (o raio da esfera). -
varia de até (de cima para baixo na esfera). -
varia de até (uma volta completa ao redor da esfera).
Então, a integral para o volume
fica:
Passo 5
Vamos resolver essa integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a
:
Então, substituindo de volta na integral:
Passo 6
Agora, integramos em relação a
:
Substituindo de volta:
Passo 7
Por fim, integramos em relação a
:
Multiplicando tudo:
Resposta
O volume da esfera é
.