Utilize coordenadas polares para determinar o volume de uma esfera de raio R.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente calcular o volume de uma esfera com raio R usando coordenadas polares. Isso significa que vamos usar cálculo integral em coordenadas esféricas para achar esse volume. Para resolver isso, vamos precisar entender como configurar uma integral tripla em coordenadas esféricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são coordenadas esféricas. Em vez de usar x , y , e z , a gente descreve qualquer ponto no espaço usando três valores:
  • rho : a distância do ponto até a origem.
  • theta : o ângulo polar, que é o ângulo entre a linha que liga o ponto à origem e o eixo vertical z .
  • phi : o ângulo azimutal, que é o ângulo no plano xy a partir do eixo x .

Passo 3

Em coordenadas esféricas, o elemento de volume diferencial dV (que é uma “pedaço” infinitesimal de volume) é dado por:
dV = rho^2 sin theta , drho , dtheta , dphi
Esse fator rho^2 sin theta é importante porque ajusta a medida do volume ao mudar de coordenadas cartesianas para esféricas.

Passo 4

Agora, para calcular o volume da esfera, vamos configurar nossa integral. Sabemos que:
  • rho varia de 0 até R (o raio da esfera).
  • theta varia de 0 até pi (de cima para baixo na esfera).
  • phi varia de 0 até 2pi (uma volta completa ao redor da esfera).
Então, a integral para o volume V fica:
V = integral0^2pi integral0^pi integral0^R rho^2 sin theta , drho , dtheta , dphi

Passo 5

Vamos resolver essa integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a rho :
integral0^R rho^2 , drho = [ rho^33 ]0^R = R^33
Então, substituindo de volta na integral:
V = integral0^2pi integral0^pi R^33 sin theta , dtheta , dphi = R^33 integral0^2pi ( integral0^pi sin theta , dtheta ) dphi

Passo 6

Agora, integramos em relação a theta :
integral0^pi sin theta , dtheta = [ -cos theta ]0^pi = -cos pi + cos 0 = 1 + 1 = 2
Substituindo de volta:
V = R^33 times 2 times integral0^2pi dphi = 2R^33 integral0^2pi dphi

Passo 7

Por fim, integramos em relação a phi :
integral0^2pi dphi = 2pi
Multiplicando tudo:
V = 2R^33 times 2pi = 43 pi R^3

Resposta

O volume da esfera é V = dfrac43 pi R^3 .

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