Encontre a solução dos seguintes problemas de valor inicial e elabore um gráfico da função resposta obtida:
ty’
ty’
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
Esse é um EDO linear de primeira ordem. Vamos usar o método do fator integrante e, se necessário, integrar por partes.
Passo 2
Colocamos em forma padrão dividindo por
:
Passo 3
O fator integrante é
Passo 4
Multiplicando a equação por
obtemos
que é exatamente
Passo 5
Integramos em relação a
:
Para
usamos integração por partes:
Logo
Passo 6
Aplicamos a condição
. Em
temos
e
, então
Passo 7
Substituindo
na solução geral,
Passo 8
O gráfico de
para
mostra oscilações amortecidas, pois para
decaindo em amplitude. Em
começa em
e depois oscila para valores positivos e negativos com amplitude que diminui.
Resposta
A solução do problema de valor inicial é
O gráfico é uma curva oscillatória de amplitude decrescente que passa por
.