Encontre a solução dos seguintes problemas de valor inicial e elabore um gráfico da função resposta obtida:
ty’ +2 y=sen t y(pi / 2)=1, t>0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
t,y' + 2y = sin t, y!l(tfracpi2r)=1,;t>0
Esse é um EDO linear de primeira ordem. Vamos usar o método do fator integrante e, se necessário, integrar por partes.

Passo 2

Colocamos em forma padrão dividindo por t:
y' + 2t,y = sin tt

Passo 3

O fator integrante é
mu(t) = exp!l(integral tfrac2t,dtr) = exp(2ln t)=t^2

Passo 4

Multiplicando a equação por t^2 obtemos
t^2 y' + 2t,y = tsin t,
que é exatamente
ddtl(t^2 yr) = tsin t

Passo 5

Integramos em relação a t:
t^2 y = integral tsin t,dt + C
Para integral tsin t,dt usamos integração por partes:
integral tsin t,dt = -tcos t + integral cos t,dt = -tcos t + sin t
Logo
t^2 y = -tcos t + sin t + C

Passo 6

Aplicamos a condição y(tfracpi2)=1. Em t=tfracpi2 temos sin(tfracpi2)=1 e cos(tfracpi2)=0, então
l(tfracpi2r)^2cdot1 = -tfracpi2cdot0 + 1 + C Longrightarrow pi^24 = 1 + C Longrightarrow C = pi^24 - 1

Passo 7

Substituindo C na solução geral,
t^2 y = -tcos t + sin t + pi^24 - 1 Longrightarrow y(t) = sin t - tcos t + tfracpi^24 - 1t^2

Passo 8

O gráfico de y(t) para t>0 mostra oscilações amortecidas, pois para ttoinfty
y(t)sim -cos tt + O(t^-2),
decaindo em amplitude. Em t=tfracpi2 começa em y=1 e depois oscila para valores positivos e negativos com amplitude que diminui.

Resposta

A solução do problema de valor inicial é
y(t) = sin t - tcos t + tfracpi^24 - 1t^2, t>0
O gráfico é uma curva oscillatória de amplitude decrescente que passa por l(tfracpi2,1r).

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