Resolver
Resolva o PVI
\left(3 x^{2} y+2 x y+y^{3}\right) d x+\left(x{2}+y{2}\right) d y=0
Resolva o PVI
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial dada:
Informações relevantes fornecidas:
O objetivo é encontrar a solução geral implícita
(ou uma relação implícita entre
e
) que satisfaça essa equação diferencial.
Passo 2
Verificamos se a equação é exata. Uma equação do tipo
é exata se existe uma função
tal que
e
. Uma forma prática é checar se
Calculemos essas derivadas parciais.
Como
, a equação não é exata na forma dada. Portanto precisamos procurar um fator integrante (integrating factor).
Passo 3
Tentamos achar um fator integrante que dependa apenas de
. Há um teste útil: se
é função somente de
, então existe um fator integrante
, onde
é essa função. Calculamos:
O quociente é a constante
, que de fato depende apenas de
(é constante). Logo podemos tomar
e o fator integrante é
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
. Obtemos a nova equação
Defina
Verificamos que agora a forma é exata, isto é, existe
tal que
e
. (Podemos checar:
e
, iguais.)
Passo 5
Agora encontramos a função potencial
integrando
em relação a
, tratando
como constante:
Vamos integrar termo a termo. É útil recordar a técnica para integrar polinômios multiplicados por exponenciais: usar integração por partes ou a fórmula padrão. Para os nossos termos:
Vamos usar fórmulas conhecidas (podemos obtê-las por partes):
Agora substituímos e multiplicamos pelos coeficientes:
Some terms se cancelam quando somamos os dois primeiros resultados:
Portanto a integral completa é
onde
é uma função arbitrária de
(a “constante” de integração relativa a integrar em
).
Passo 6
Imponha a condição
para determinar
. Calculemos
:
Mas precisamos que
. Assim
Logo
é constante. Denotando essa constante por
, temos a função potencial completa.
Passo 7
A solução geral implícita da equação (após multiplicar pelo fator integrante) é
onde
é constante arbitrária. Podemos reescrever multiplicando por
se preferir:
com
outra constante.