Resolver
Resolva o PVI
\left(3 x^{2} y+2 x y+y^{3}\right) d x+\left(x{2}+y{2}\right) d y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial dada:
\left(3x^{2}y+2xy+y^{3}\right)\,dx+\left(x^{2}+y^{2}\right)\,dy=0.
Informações relevantes fornecidas:
M(x,y)=3x^{2}y+2xy+y^{3}, \qquad N(x,y)=x^{2}+y^{2}.
O objetivo é encontrar a solução geral implícita y(x) (ou uma relação implícita entre x e y) que satisfaça essa equação diferencial.

Passo 2

Verificamos se a equação é exata. Uma equação do tipo
M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0
é exata se existe uma função \Phi(x,y) tal que \Phi_x=M e \Phi_y=N. Uma forma prática é checar se
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Calculemos essas derivadas parciais.
\frac{\partial M}{\partial y}=3x^{2}+2x+3y^{2}, \qquad \frac{\partial N}{\partial x}=2x.
Como \frac{\partial M}{\partial y}\neq\frac{\partial N}{\partial x}, a equação não é exata na forma dada. Portanto precisamos procurar um fator integrante (integrating factor).

Passo 3

Tentamos achar um fator integrante que dependa apenas de x. Há um teste útil: se
\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N}
é função somente de x, então existe um fator integrante \mu(x)=\exp\!\left(\int f(x)\,dx\right), onde f(x) é essa função. Calculamos:
\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N} =\frac{(3x^{2}+2x+3y^{2})-(2x)}{x^{2}+y^{2}} =\frac{3x^{2}+3y^{2}}{x^{2}+y^{2}}=3.
O quociente é a constante 3, que de fato depende apenas de x (é constante). Logo podemos tomar
f(x)=3
e o fator integrante é
\mu(x)=\exp\!\left(\int 3\,dx\right)=e^{3x}.

Passo 4

Multiplicamos a equação original por \mu(x)=e^{3x}. Obtemos a nova equação
e^{3x}\big(3x^{2}y+2xy+y^{3}\big)\,dx+e^{3x}\big(x^{2}+y^{2}\big)\,dy=0.
Defina
\widetilde M(x,y)=e^{3x}\big(3x^{2}y+2xy+y^{3}\big), \qquad \widetilde N(x,y)=e^{3x}\big(x^{2}+y^{2}\big).
Verificamos que agora a forma é exata, isto é, existe \Phi tal que \Phi_x=\widetilde M e \Phi_y=\widetilde N. (Podemos checar: \partial\widetilde M/\partial y=e^{3x}(3x^{2}+2x+3y^{2}) e \partial\widetilde N/\partial x=e^{3x}(3x^{2}+2x+3y^{2}), iguais.)

Passo 5

Agora encontramos a função potencial \Phi(x,y) integrando \widetilde M em relação a x, tratando y como constante:
\Phi(x,y)=\int \widetilde M(x,y)\,dx =\int e^{3x}\big(3x^{2}y+2xy+y^{3}\big)\,dx.
Vamos integrar termo a termo. É útil recordar a técnica para integrar polinômios multiplicados por exponenciais: usar integração por partes ou a fórmula padrão. Para os nossos termos:
  1. \displaystyle \int e^{3x}\,3x^{2}y\,dx=3y\int x^{2}e^{3x}\,dx.
  2. \displaystyle \int e^{3x}\,2xy\,dx=2y\int x e^{3x}\,dx.
  3. \displaystyle \int e^{3x}\,y^{3}\,dx=y^{3}\int e^{3x}\,dx.
Vamos usar fórmulas conhecidas (podemos obtê-las por partes):
\int x^{2}e^{3x}\,dx=e^{3x}\Big(\frac{x^{2}}{3}-\frac{2x}{9}+\frac{2}{27}\Big)+C,
\int x e^{3x}\,dx=e^{3x}\Big(\frac{x}{3}-\frac{1}{9}\Big)+C,
\int e^{3x}\,dx=\frac{1}{3}e^{3x}+C.
Agora substituímos e multiplicamos pelos coeficientes:
3y\int x^{2}e^{3x}\,dx =3y\,e^{3x}\Big(\frac{x^{2}}{3}-\frac{2x}{9}+\frac{2}{27}\Big) =y\,e^{3x}\Big(x^{2}-\frac{2x}{3}+\frac{2}{9}\Big),
2y\int x e^{3x}\,dx =2y\,e^{3x}\Big(\frac{x}{3}-\frac{1}{9}\Big) =y\,e^{3x}\Big(\frac{2x}{3}-\frac{2}{9}\Big),
y^{3}\int e^{3x}\,dx =\frac{y^{3}}{3}e^{3x}.
Some terms se cancelam quando somamos os dois primeiros resultados:
y\,e^{3x}\Big(x^{2}-\frac{2x}{3}+\frac{2}{9}\Big) + y\,e^{3x}\Big(\frac{2x}{3}-\frac{2}{9}\Big) = y\,e^{3x}\,x^{2}.
Portanto a integral completa é
\Phi(x,y)=e^{3x}\Big(x^{2}y+\frac{y^{3}}{3}\Big)+h(y),
onde h(y) é uma função arbitrária de y (a “constante” de integração relativa a integrar em x).

Passo 6

Imponha a condição \Phi_y=\widetilde N para determinar h(y). Calculemos \Phi_y:
\Phi_y=\frac{\partial}{\partial y}\bigg[e^{3x}\Big(x^{2}y+\frac{y^{3}}{3}\Big)+h(y)\bigg] =e^{3x}\big(x^{2}+y^{2}\big)+h'(y).
Mas precisamos que \Phi_y=\widetilde N=e^{3x}(x^{2}+y^{2}). Assim
e^{3x}\big(x^{2}+y^{2}\big)+h'(y)=e^{3x}\big(x^{2}+y^{2}\big) \implies h'(y)=0.
Logo h(y) é constante. Denotando essa constante por C, temos a função potencial completa.

Passo 7

A solução geral implícita da equação (após multiplicar pelo fator integrante) é
\Phi(x,y)=e^{3x}\Big(x^{2}y+\frac{y^{3}}{3}\Big)=C,
onde C é constante arbitrária. Podemos reescrever multiplicando por 3 se preferir:
e^{3x}\big(3x^{2}y+y^{3}\big)=C',
com C'=3C outra constante.

Resposta

e^{3x}\Big(x^{2}y+\frac{y^{3}}{3}\Big)=C

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