Use a Transformada de Laplace para resolver o PVI dado.
y^prime+6 y=e^4 t com y(0)=2

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'(t) + 6,y(t) = e^4t, y(0)=2
usando a Transformada de Laplace. Para isso precisamos lembrar que, se Y(s)=Ly(t), então
Ly'(t)=s,Y(s)-y(0),
e que
Le^at=1s-a

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados de
y'(t) + 6,y(t) = e^4t
obtemos
l(s,Y(s)-y(0)r)+6,Y(s)=1s-4
Substituindo y(0)=2, isso vira
s,Y(s)-2+6,Y(s)=1s-4

Passo 3

Agrupando Y(s) temos
Y(s),(s+6)=2+1s-4,
logo
Y(s)=2s+6+1(s-4)(s+6)

Passo 4

Fazemos frações parciais em
1(s-4)(s+6)=As-4+Bs+6
Temos
1 = A(s+6)+B(s-4),
logo, comparando coeficientes,
A+B=0, 6A-4B=1Longrightarrow A=110,;B=-110
Assim
Y(s)=2s+6+1/10s-4-1/10s+6 =19/10s+6+1/10s-4

Passo 5

Agora aplicamos a transformada inversa:
L^-1l19/10s+6r = 1910e^-6t, L^-1l1/10s-4r = 110e^4t
Somando os dois termos, obtemos
y(t)=1910,e^-6t+110,e^4t

Resposta

y(t)=1910,e^-6t+110,e^4t

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