Grafique:
Passo 1
O enunciado pede para traçarmos o gráfico da função racional f(x)=
. O conteúdo envolve funções racionais, cancelamento de fatores, domínio, assíntotas e pontos notáveis.
Passo 2
Primeiro determinamos o domínio exigindo que o denominador não seja zero: x^{2}-1≠0 ⇒ x≠1 e x≠−1. Portanto Dom(f)=
{−1,1}.
Passo 3
Para x≠±1 podemos simplificar a função cancelando
:
f(x)=
.
Passo 4
Analisamos as assíntotas:
• Vertical em x=−1, pois o termo explode ali.
• Horizontal em y=2, pois e f(x)→2.
• Vertical em x=−1, pois o termo
• Horizontal em y=2, pois
Passo 5
Há um buraco (ponto removido) em x=1: o valor limite é f(1)=
, mas f não está definido em x=1. Então buraco em (1,2{,}5).
Passo 6
Calculamos interceptos para guiar o esboço:
• Intercepto y: em x=0, f(0)= ⇒ (0,3).
• Intercepto x: f(x)=0 ⇒ ⇒ (-1{,}5,0).
• Intercepto y: em x=0, f(0)=
• Intercepto x: f(x)=0 ⇒
Passo 7
Com essas informações (domínio, assíntotas, buraco e interceptos) traçamos o gráfico como uma hipérbole deslocada: dois ramos separados pela assíntota vertical x=−1, aproximando-se de y=2, com o buraco em (1,2{,}5).
Resposta
O gráfico de f(x) é dado pela hipérbole f(x)=2+1/(x+1) com domínio x≠−1,1, assíntota vertical x=−1, assíntota horizontal y=2, buraco em (1,2{,}5), interceptos em (0,3) e (−1{,}5,0).