Grafique:
f(x)=x-1x^2-1+2

Passo 1

O enunciado pede para traçarmos o gráfico da função racional f(x)= x-1x^2-1+2. O conteúdo envolve funções racionais, cancelamento de fatores, domínio, assíntotas e pontos notáveis.

Passo 2

Primeiro determinamos o domínio exigindo que o denominador não seja zero: x^{2}-1≠0 ⇒ x≠1 e x≠−1. Portanto Dom(f)= {−1,1}.

Passo 3

Para x≠±1 podemos simplificar a função cancelando x-1:
f(x)= x-1(x-1)(x+1)+2=1x+1+2.

Passo 4

Analisamos as assíntotas:
• Vertical em x=−1, pois o termo 1/(x+1) explode ali.
• Horizontal em y=2, pois limx→±∞1/(x+1)=0 e f(x)→2.

Passo 5

Há um buraco (ponto removido) em x=1: o valor limite é f(1)= 1/(1+1)+2=2,5, mas f não está definido em x=1. Então buraco em (1,2{,}5).

Passo 6

Calculamos interceptos para guiar o esboço:
• Intercepto y: em x=0, f(0)= 1/1+2=3 ⇒ (0,3).
• Intercepto x: f(x)=0 ⇒ 1/(x+1)+2=0⇒1/(x+1)=-2⇒x+1=-1/2⇒x=-3/2 ⇒ (-1{,}5,0).

Passo 7

Com essas informações (domínio, assíntotas, buraco e interceptos) traçamos o gráfico como uma hipérbole deslocada: dois ramos separados pela assíntota vertical x=−1, aproximando-se de y=2, com o buraco em (1,2{,}5).

Resposta

O gráfico de f(x) é dado pela hipérbole f(x)=2+1/(x+1) com domínio x≠−1,1, assíntota vertical x=−1, assíntota horizontal y=2, buraco em (1,2{,}5), interceptos em (0,3) e (−1{,}5,0).

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