(2.0 pontos) Obtenha uma série de potência de x para a função f(x)=x(3 x-1) e determine o intervalo de convergência (Ic)
Sugestão: sumn=0^infty y^n=11-y, |y|<1

Passo 1

O enunciado pede para obter a série de potências em x (em torno de zero) da função
f(x)=x3x-1
e determinar o intervalo de convergência. O conteúdo principal aqui é usar a expansão em série geométrica
sumn=0^inftyy^n=11-y,|y|<1

Passo 2

Reescrevemos o denominador para aplicar a série geométrica. Note que
3x-1=-(1-3x),
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f(x)=x3x-1=-x1-3x

Passo 3

Usamos a fórmula da série geométrica com y=3x:
11-3x=sumn=0^infty(3x)^n, para |3x|<1
Multiplicando por -x, obtemos
f(x)=-xsumn=0^infty(3x)^n =-sumn=0^infty3^n,x^n+1

Passo 4

Reindexamos para escrever em potências de x^m. Façamos m=n+1; quando n=0, m=1. Assim
f(x)=-summ=1^infty3^,m-1x^m

Passo 5

A condição de convergência vem de |3x|<1, ou seja
|x|<13

Resposta

f(x)=-sumn=1^infty3^,n-1x^n, Ic: |x|<tfrac13

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