Exercício 1. Encontre a solução geral da equação da onda,
para uma corda de tamanho
, velocidade da onde
e sujeita à condição de contorno
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação da onda
em
, sujeita às condições de contorno
Vamos usar o método de separação de variáveis, que produz uma série de modos normais.
Passo 2
Suponha
Substituindo na equação da onda obtemos
Dividindo por
chega-se à separação
onde
é constante de separação.
Passo 3
O problema espacial fica
As soluções não-triviais ocorrem para
e os autofuncionais associados são
Passo 4
Para cada
a parte temporal satisfaz
cuja solução geral é
com constantes
que seriam determinadas por condições iniciais.
Passo 5
Somando todos os modos obtemos a solução geral
Resposta
onde
e
são constantes fixadas pelas condições iniciais.