Exercício 1. Encontre a solução geral da equação da onda,
\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}=c^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}
para uma corda de tamanho L=1, velocidade da onde c=1 e sujeita à condição de contorno
u(0, t)=u(1, t)=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação da onda
\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}} \;=\;\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}
em 0<x<1, sujeita às condições de contorno
u(0,t)=0,\quad u(1,t)=0.
Vamos usar o método de separação de variáveis, que produz uma série de modos normais.

Passo 2

Suponha
u(x,t)=X(x)\,T(t).
Substituindo na equação da onda obtemos
X(x)\,T''(t)=X''(x)\,T(t).
Dividindo por X\,T chega-se à separação
\frac{T''(t)}{T(t)}=\frac{X''(x)}{X(x)}=-\lambda,
onde \lambda é constante de separação.

Passo 3

O problema espacial fica
X''(x)+\lambda\,X(x)=0, \qquad X(0)=0,\; X(1)=0.
As soluções não-triviais ocorrem para
\lambda_n=(n\pi)^{2},\quad n=1,2,3,\dots
e os autofuncionais associados são
X_n(x)=\sin(n\pi x).

Passo 4

Para cada \lambda_n a parte temporal satisfaz
T_n''(t)+(n\pi)^{2}T_n(t)=0,
cuja solução geral é
T_n(t)=A_n\cos(n\pi t)+B_n\sin(n\pi t),
com constantes A_n,B_n que seriam determinadas por condições iniciais.

Passo 5

Somando todos os modos obtemos a solução geral
u(x,t) =\sum_{n=1}^{\infty}\bigl[A_n\cos(n\pi t)+B_n\sin(n\pi t)\bigr]\, \sin(n\pi x).

Resposta

\boxed{ u(x,t) =\sum_{n=1}^{\infty}\bigl[A_n\cos(n\pi t)+B_n\sin(n\pi t)\bigr]\, \sin(n\pi x), }
onde A_n e B_n são constantes fixadas pelas condições iniciais.

Exercícios relacionados