Encontre uma solução para o sistema de equações diferenciais dado abaixo:
\left\{\begin{array}{l} x_{1}^{\prime}(t)=3 x_{1}+2 x_{2} \\\ x_{2}^{\prime}(t)=6 x_{1}+4 x_{2} \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema linear de EDOs
\begin{cases} x_{1}'(t)=3x_{1}(t)+2x_{2}(t)\\\ x_{2}'(t)=6x_{1}(t)+4x_{2}(t) \end{cases}
O conteúdo envolvido é o de sistemas lineares com coeficientes constantes. Para resolver, vamos montar a matriz dos coeficientes, encontrar os autovalores e autovetores e então escrever a solução geral como combinação linear das soluções fundamentais.

Passo 2

Definimos a matriz dos coeficientes
A = \begin{pmatrix}3 & 2\\\\ 6 & 4\end{pmatrix}.
O polinômio característico vem de \det(A - \lambda I)=0, ou seja
\det\begin{pmatrix}3-\lambda & 2\\\\ 6 & 4-\lambda\end{pmatrix} =(3-\lambda)(4-\lambda)-12.

Passo 3

Expandindo, temos
(3-\lambda)(4-\lambda)-12 = 12 -7\lambda +\lambda^2 -12 = \lambda^2 -7\lambda = \lambda(\lambda-7).
Logo os autovalores são
\lambda_{1}=0,\qquad \lambda_{2}=7.

Passo 4

Para \lambda_{1}=0 resolvemos (A-0I)v=0, isto é
\begin{pmatrix}3 & 2\\\ 6 &4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_{1}\v_{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix} \;\Longrightarrow\;2v_{2}=-3v_{1}.
Podemos escolher o autovetor
v^{(1)} = \begin{pmatrix}2\\\ -3\end{pmatrix}.
Para \lambda_{2}=7 resolvemos (A-7I)v=0, isto é
\begin{pmatrix}-4 & 2\\\ 6 & -3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_{1}\v_{2}\end{pmatrix} =0 \;\Longrightarrow\;2v_{2}=4v_{1},
e tomamos
v^{(2)} = \begin{pmatrix}1\\\ 2\end{pmatrix}.

Passo 5

As soluções fundamentais são
\exp(0t)\,v^{(1)} e \exp(7t)\,v^{(2)}. Portanto a solução geral é
x(t) = C_{1}\begin{pmatrix}2\\\ -3\end{pmatrix} e^{0\cdot t} + C_{2}\begin{pmatrix}1\\\ 2\end{pmatrix} e^{7t},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Resposta

x_{1}(t) = 2C_{1} + C_{2}e^{7t}
x_{2}(t) = -3C_{1} + 2C_{2}e^{7t}
para C_{1},C_{2}\in\mathbb{R}.

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