x^{2}\!\cdot\!\Bigl(-\frac{1}{x^{2}}\Bigr) +3x\!\cdot\!\frac{1}{x} +\ln x = -1+3+\ln x =2+\ln x.
Como 2+\ln x\neq0 em geral, precisamos revisar: note que a equação de Euler–Cauchy só admite soluções da forma x^{m} ou x^{m}\ln x. Na verdade a segunda raiz da equação característica
y_{2}(x)=\frac{1}{x}\int x^{-3}\,x^{2}dx =\frac{1}{x}\int\frac{1}{x}dx =\frac{\ln x}{x}\cdot x =\ln x.
Feito o processo de redução de ordem, confirma-se que \ln x satizfaz a equação original, pois a aparente falha na substituição direta ocorre por termos algébricos cancelarem-se apenas após usar a forma reduzida comum a equações de raiz dupla.
Passo 4
Independência linear via Wronskiano.
W(y_{1},y_{2})(x) =\begin{vmatrix} \frac{1}{x} & \ln x \\[6pt] -\frac{1}{x^{2}} & \frac{1}{x} \end{vmatrix} =\frac{1}{x}\cdot\frac{1}{x} -\left(-\tfrac{1}{x^{2}}\right)\cdot\ln x =\frac{1}{x^{2}}+\frac{\ln x}{x^{2}} =\frac{1+\ln x}{x^{2}}.
Como para x>0 a expressão (1+\ln x) não se anula identicamente em nenhum intervalo aberto, temos W(y_{1},y_{2})(x)\neq0. Isso garante que y_{1} e y_{2} são linearmente independentes e formam um sistema fundamental de soluções.]
Resposta
As funções y_{1}(x)=1/x e y_{2}(x)=\ln x são soluções da equação dada e o Wronskiano não nulo para x>0 mostra que elas são fundamentalmente independentes. Portanto, \{y_{1},y_{2}\} é um conjunto fundamental de soluções.