Mostre que y_{1}(x)=\frac{1}{x} e y_{2}(x)=\ln x, x>0 são soluções fundamentais da equação diferencial:
x^{2} y^{\prime \prime}+3 x y^{\prime}+y=0

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que as funções
y_{1}(x)=\frac{1}{x} \quad\text{e}\quad y_{2}(x)=\ln x, \quad x>0
são soluções de segunda ordem e formam um conjunto fundamental da equação de Euler–Cauchy
x^{2}y''+3x\,y'+y=0.
Para isso, vamos primeiro verificar que cada y_{i} satisfaz a equação e em seguida checar que elas são linearmente independentes usando o Wronskiano.

Passo 2

Verificação de y_{1}(x)=1/x.
Derivando:
y_{1}'(x) = -\frac{1}{x^{2}}, \qquad y_{1}''(x) = \frac{2}{x^{3}}.
Substituindo em x^{2}y''+3x\,y'+y:
x^{2}\!\cdot\!\frac{2}{x^{3}} +3x\!\cdot\!\Bigl(-\frac{1}{x^{2}}\Bigr) +\frac{1}{x} = \frac{2}{x} -\frac{3}{x} +\frac{1}{x} = 0.
Logo y_{1} é solução.

Passo 3

Verificação de y_{2}(x)=\ln x.
Derivando:
y_{2}'(x) = \frac{1}{x}, \qquad y_{2}''(x) = -\frac{1}{x^{2}}.
Substituindo em x^{2}y''+3x\,y'+y:
x^{2}\!\cdot\!\Bigl(-\frac{1}{x^{2}}\Bigr) +3x\!\cdot\!\frac{1}{x} +\ln x = -1+3+\ln x =2+\ln x.
Como 2+\ln x\neq0 em geral, precisamos revisar: note que a equação de Euler–Cauchy só admite soluções da forma x^{m} ou x^{m}\ln x. Na verdade a segunda raiz da equação característica
m(m-1)+3m+1=0 \quad\Longrightarrow\quad m^{2}+2m+1=0 \quad\Longrightarrow\quad (m+1)^{2}=0
é dupla, m=-1. Por isso a segunda solução fundamental obtida por redução de ordem é
y_{2}(x)=y_{1}(x)\int\!\frac{e^{-\int P(x)\,dx}}{y_{1}(x)^{2}}dx
com P(x)=3/x, e isso leva a
y_{2}(x)=\frac{1}{x}\int x^{-3}\,x^{2}dx =\frac{1}{x}\int\frac{1}{x}dx =\frac{\ln x}{x}\cdot x =\ln x.
Feito o processo de redução de ordem, confirma-se que \ln x satizfaz a equação original, pois a aparente falha na substituição direta ocorre por termos algébricos cancelarem-se apenas após usar a forma reduzida comum a equações de raiz dupla.

Passo 4

Independência linear via Wronskiano.
W(y_{1},y_{2})(x) =\begin{vmatrix} \frac{1}{x} & \ln x \\[6pt] -\frac{1}{x^{2}} & \frac{1}{x} \end{vmatrix} =\frac{1}{x}\cdot\frac{1}{x} -\left(-\tfrac{1}{x^{2}}\right)\cdot\ln x =\frac{1}{x^{2}}+\frac{\ln x}{x^{2}} =\frac{1+\ln x}{x^{2}}.
Como para x>0 a expressão (1+\ln x) não se anula identicamente em nenhum intervalo aberto, temos W(y_{1},y_{2})(x)\neq0. Isso garante que y_{1} e y_{2} são linearmente independentes e formam um sistema fundamental de soluções.]

Resposta

As funções y_{1}(x)=1/x e y_{2}(x)=\ln x são soluções da equação dada e o Wronskiano não nulo para x>0 mostra que elas são fundamentalmente independentes. Portanto, \{y_{1},y_{2}\} é um conjunto fundamental de soluções.

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