Encontre a solução do sistema homogêneo associado à matriz a seguir.
\left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\\\ -1 & 3 & 0 \\\\ 1 & 8 & 3 \end{array}\right]
Escolha uma opção:
a. \left[\begin{array}{lll}-1 & 3 & 0\end{array}\right]
b. \left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 0\end{array}\right] \mathrm{T}
c. \quad\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3\end{array}\right] \mathrm{T}
d. [183] \mathrm{T}
e. [1-11]

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema homogêneo \mathbf{A}x=0, onde
\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\\\ -1 & 3 & 0\\\\ 1 & 8 & 3 \end{pmatrix}.
É uma questão de encontrar o núcleo (espaço nulo) de \mathbf{A}, usando eliminação de Gauss ou resolução direta.

Passo 2

Escrevemos as equações correspondentes:
\begin{cases} x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 0,\\\\ -\,x_1 + 3x_2 + 0\cdot x_3 = 0,\\\ x_1 + 8x_2 + 3x_3 = 0. \end{cases}
Da segunda equação temos x_1 = 3x_2. Substituindo em \color{blue}{1^\text{a}}
3x_2 + 2x_2 + 3x_3 = 0
ou seja
5x_2 + 3x_3 = 0 \implies x_2 = -\frac{3}{5}x_3.
Logo x_1 = 3x_2 = -\frac{9}{5}x_3.

Passo 3

Verificando na terceira equação:
x_1 + 8x_2 + 3x_3 = -\frac{9}{5}x_3 + 8\Bigl(-\frac{3}{5}x_3\Bigr) + 3x_3 = -\frac{9+24}{5}x_3 + 3x_3 = -\frac{33}{5}x_3 + \frac{15}{5}x_3 = -\frac{18}{5}x_3.
Para satisfazer -\tfrac{18}{5}x_3=0 precisamos de x_3=0. Então x_2=0 e x_1=0. Assim, a única solução é a trivial.

Resposta

A solução do sistema homogêneo é (x_1,x_2,x_3)=(0,0,0), correspondente à opção
b. \begin{pmatrix}0 & 0 & 0\end{pmatrix}^\mathrm{T}.

Exercícios relacionados