No espaço vetorial M_{3 \times 3}(R) das matrizes 3 \times 3 de coeficientes reais, dado o subconjunto B, é correto afirmar que:

Escolha uma opção:
a. se B possui exatamente um vetor não nulo, então B é linearmente dependente.
b. se B possui exatamente um vetor não nulo, então B é linearmente independente.
c. se B possui menos de 9 vetores, então B é obrigatoriamente linearmente independente.
d. se 0 \in B, então B pode ser linearmente independente.
e. se B possui mais de 10 vetores, então B pode ser linearmente independente.

Passo 1

O enunciado fala do espaço vetorial M_{3\times3}(\mathbb{R}), que tem dimensão 9, e apresenta várias afirmativas sobre independência/dependência linear de um subconjunto B. Para resolver, precisamos lembrar a definição de conjunto linearmente independente e o caso especial de conjuntos com um só vetor.

Passo 2

Definição: um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que dá o vetor zero é a combinação trivial (todos os coeficientes nulos). Em particular, um conjunto formado por um único vetor v satisfaz
\alpha v = 0
se e somente se \alpha=0. Logo, \{v\} é linearmente independente exatamente quando v\neq0.

Passo 3

A afirmativa (b) diz: “se B possui exatamente um vetor não nulo, então B é linearmente independente.” Isso coincide com o fato de que um singleton \{v\} com v\neq0 é sempre independente.

Resposta

b

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