No espaço vetorial
das matrizes
de coeficientes reais, dado o subconjunto
, é correto afirmar que:
Escolha uma opção:
a. se
possui exatamente um vetor não nulo, então
é linearmente dependente.
b. se
possui exatamente um vetor não nulo, então
é linearmente independente.
c. se B possui menos de 9 vetores, então B é obrigatoriamente linearmente independente.
d. se
, então
pode ser linearmente independente.
e. se
possui mais de 10 vetores, então
pode ser linearmente independente.
a. se
b. se
c. se B possui menos de 9 vetores, então B é obrigatoriamente linearmente independente.
d. se
e. se
Passo 1
O enunciado fala do espaço vetorial
, que tem dimensão
, e apresenta várias afirmativas sobre independência/dependência linear de um subconjunto
. Para resolver, precisamos lembrar a definição de conjunto linearmente independente e o caso especial de conjuntos com um só vetor.
Passo 2
Definição: um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que dá o vetor zero é a combinação trivial (todos os coeficientes nulos). Em particular, um conjunto formado por um único vetor
satisfaz
se e somente se
. Logo,
é linearmente independente exatamente quando
.
Passo 3
A afirmativa (b) diz: “se
possui exatamente um vetor não nulo, então
é linearmente independente.” Isso coincide com o fato de que um singleton
com
é sempre independente.
Resposta
b