Encontre a solução do sistema linear abaixo pelo método de eliminação de Gauss.
c x+2 y-5 z+4 w=6 2 x+5 y+12 z+7 w=14 3 x+5 y+17 z+8 w=16 x+y+7 z+4 w=6

Passo 1

O enunciado pede para resolver, pelo método de eliminação de Gauss, o sistema
x+2y-5z+4w=6, 2x+5y+12z+7w=14, 3x+5y+17z+8w=16, x+y+7z+4w=6
O conteúdo é Eliminação de Gauss: montamos a matriz aumentada, usamos operações elementares para triangularizar e depois aplicamos substituição retroativa.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada:
Eliminamos das linhas 2, 3 e 4 usando o pivô :
O que produz

Passo 3

Usamos agora o pivô e eliminamos a coluna 2 nas linhas 3 e 4:
Fica

Passo 4

O pivô permite eliminar a coluna 3 na linha 4:
Isso leva a

Passo 5

Da última linha temos
5827,w = 2 Longrightarrow w = 2cdot2758 = 2729

Passo 6

Substituímos w na terceira linha para achar z:
54,z -5,w = 0 Longrightarrow 54,z = 5,w = 5cdot2729 Longrightarrow z = 5cdot2754cdot29 = 558

Passo 7

Substituímos w na segunda linha para achar y:
y - 11,wcdot(-1)+22cdot0 =2Longrightarrow y = 2 - 2254,0 + 11,w
(mais direto: está em forma y + tfrac2827w=2)
y = 2 - 2827,w = 2 - 2827cdot2729 = 2 - 2829 = 3029

Passo 8

Finalmente substituímos w na primeira linha para achar x:
x + 7954,w = 2 Longrightarrow x = 2 - 7954cdot2729 = 2 - 7958 = 3758

Resposta

x = 3758, y = 3029, z = 558, w = 2729

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