Questão 3. (8 pontos) Um software de modelagem 3D define uma superfície para um objeto cujo perfil é dado pela função: f(x)=\frac{1}{x^{2}+1}, para x \in[0,1]. O objeto é criado girando essa curva em torno do eixo x, gerando um sólido que representa parte de um modelo para um componente virtual. Calcule o volume deste objeto.

Passo 1

O enunciado nos dá a curva
f(x)=\frac{1}{x^{2}+1}
definida em [0,1] e gira essa curva em torno do eixo x, gerando um sólido. O conteúdo é cálculo de volume por revolução (método dos discos): vamos usar a fórmula do volume
V=\int_{a}^{b}A(x)\,\mathrm{d}x
em que A(x) é a área do disco de raio f(x).

Passo 2

A área do disco perpendicular ao eixo x é
A(x)=\pi\bigl[f(x)\bigr]^{2} =\pi\frac{1}{(x^{2}+1)^{2}}.
Logo, o volume vale
V=\int_{0}^{1}\pi\frac{1}{(x^{2}+1)^{2}}\,\mathrm{d}x =\pi\int_{0}^{1}\frac{1}{(x^{2}+1)^{2}}\,\mathrm{d}x.

Passo 3

Precisamos calcular a integral
I=\int_{0}^{1}\frac{1}{(x^{2}+1)^{2}}\,\mathrm{d}x.
Para isso, usamos a antiderivada conhecida
\int\frac{1}{(x^{2}+1)^{2}}\,\mathrm{d}x =\frac{x}{2(x^{2}+1)}+\frac{1}{2}\arctan x + C.

Passo 4

Avaliamo-la de 0 a 1:
em x=1
\frac{1}{2(1^{2}+1)}+\frac{1}{2}\arctan(1) =\frac{1}{2\cdot 2}+\frac{1}{2}\cdot \frac{\pi}{4} =\frac{1}{4}+\frac{\pi}{8},
em x=0 o resultado é 0. Portanto
I=\frac{1}{4}+\frac{\pi}{8}.

Passo 5

Multiplicando por \pi, obtemos o volume
V=\pi\,I =\pi\Bigl(\frac{1}{4}+\frac{\pi}{8}\Bigr) =\frac{\pi}{4}+\frac{\pi^{2}}{8}.

Resposta

V = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi^{2}}{8}.

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