Encontre a solução do sistema, utilizando escalonamento ou transformando em um equivalente.
lrx-y+2 z & 5 2 x-2 y+4 z= & 10 3 x-3 y+6 z & 15

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício pede. Temos um sistema de equações lineares com três variáveis: x, y e z. O objetivo é encontrar os valores dessas variáveis que satisfazem todas as equações simultaneamente. Para resolver isso, vamos usar o método de escalonamento, que é uma técnica da álgebra linear para simplificar sistemas de equações.

Passo 2

Vamos começar escrevendo o sistema de equações de forma mais clara:
x - y + 2z = 5 2x - 2y + 4z = 10 3x - 3y + 6z = 15

Passo 3

O próximo passo é transformar esse sistema em uma matriz aumentada, que combina os coeficientes das variáveis com os termos constantes:
1 & -1 & 2 & | & 5 2 & -2 & 4 & | & 10 3 & -3 & 6 & | & 15

Passo 4

Agora, vamos usar operações de linha para simplificar a matriz. Primeiro, observamos que a segunda linha é exatamente o dobro da primeira, e a terceira linha é o triplo da primeira. Isso indica que todas as equações são proporcionais, ou seja, o sistema é dependente.

Passo 5

Como as três equações são múltiplos umas das outras, isso significa que elas representam a mesma reta no espaço tridimensional. Portanto, o sistema não tem uma única solução, mas sim infinitas soluções que estão todas sobre essa reta.

Passo 6

Para expressar a solução, podemos escolher uma das variáveis como parâmetro. Vamos escolher z = t, onde t pode ser qualquer número real.
Usando a primeira equação:
x - y + 2t = 5
Podemos rearranjar para expressar x em termos de y e t:
x = y - 2t + 5

Passo 7

Assim, a solução geral do sistema pode ser escrita em termos de y e t. No entanto, para simplificar, normalmente escolhemos y como outro parâmetro, mas como temos apenas uma equação independente, podemos expressar x em termos de t.
Portanto, as soluções são:
x = 5 + 2t y = t z = t
Onde t é um número real qualquer.

Resposta

O sistema possui infinitas soluções dadas por:
x = 5 + 2t, y = t, z = t onde t in R

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