Seja
um operador linear onde
é um espaço vetorial sobre
de dimensão finita e sejam
, autovalores de
dois a dois distintos. Então:
Para cada
, seja
um conjunto LI contido em
. Então,
é LI.
Para cada
Passo 1
O enunciado afirma que
é um operador linear num espaço vetorial
de dimensão finita sobre
, com autovalores
todos distintos. Para cada
temos um conjunto
(ou seja,
é formado por autovetores de
associados a
) e
é linearmente independente. Precisamos provar que a união
é também linearmente independente. O conteúdo principal que usaremos é o fato de que polinômios em
agem como escalares nos autovetores, e que valores de um polinômio em ponto diferente de raiz são não nulos.
Passo 2
Suponha, para fins de contradição, que haja uma combinação linear não trivial entre vetores de
. Isto é, existam escalares
, nem todos zero, tais que
Passo 3
Fixe um índice
qualquer e considere o polinômio
Aplicando o operador
à combinação do passo anterior, obtemos
Passo 4
Como cada
é autovetor com
, temos
Para
,
é raiz de
, logo
e esses termos desaparecem. Para
,
pois os
's são distintos.
Passo 5
Assim, na soma anterior só sobra o bloco
:
Como
, segue
Por hipótese
é linearmente independente, logo cada coeficiente
com
é zero.
Passo 6
Repetindo esse argumento para cada
, concluímos que todos os coeficientes
devem ser zero. Isso mostra que não existe combinação linear não trivial, ou seja,
é linearmente independente.
Resposta
A união
é um conjunto linearmente independente.