No espaço vetorial real M3(R), determine as dimensões dos subespaços abaixo.
W3, formado pelas matrizes triangulares diagonais.

Passo 1

O enunciado pede a dimensão de W3, que é o subespaço de M3(R) formado pelas matrizes que são simultaneamente triangulares (superior ou inferior) e diagonais — isto é, na prática, as matrizes diagonais. Para resolver precisamos lembrar que a dimensão de um espaço de matrizes é o número de entradas livres (parâmetros independentes) na sua forma geral.

Passo 2

Uma matriz genérica em W3 tem a forma
a11 & 0 & 0 0 & a22 & 0 0 & 0 & a33 ,
pois todas as entradas fora da diagonal principal são obrigatoriamente zero. Os únicos graus de liberdade são os três números a11,a22,a33.

Passo 3

Como cada escolha de (a11,a22,a33) no espaço R^3 determina uma e só uma matriz em W3, o número de parâmetros independentes é 3. Logo,
dim(W3) = 3

Resposta

dim(W3)=3.

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