Resolva os seguintes sistemas lineares utilizando o método da eliminação de Gauss:
r x+y+2 z=9 2 x+4 y-3 z=1 3 x+6 y-5 z=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares usando o método da eliminação de Gauss. Esse método ajuda a simplificar o sistema até encontrar os valores das variáveis. Vamos precisar manipular as equações para eliminar uma variável de cada vez, facilitando a resolução. Nosso sistema é:
r x + y + 2z = 9 2x + 4y - 3z = 1 3x + 6y - 5z = 0

Passo 2

Primeiro, vamos organizar as equações para facilitar a manipulação. Vamos chamar as equações de (1), (2) e (3):
(1) & x + y + 2z = 9 (2) & 2x + 4y - 3z = 1 (3) & 3x + 6y - 5z = 0

Passo 3

Nosso objetivo é eliminar uma das variáveis. Vamos começar eliminando x . Para isso, vamos multiplicar a equação (1) por 2 e subtrair da equação (2):
Multiplicando (1) por 2:
2x + 2y + 4z = 18 (1a)
Agora, subtraindo (1a) de (2):
(2x + 4y - 3z) - (2x + 2y + 4z) = 1 - 18 0x + 2y - 7z = -17 (4)

Passo 4

Agora, vamos eliminar x usando as equações (1) e (3). Multiplicamos a equação (1) por 3 e subtrair da equação (3):
Multiplicando (1) por 3:
3x + 3y + 6z = 27 (1b)
Subtraindo (1b) de (3):
(3x + 6y - 5z) - (3x + 3y + 6z) = 0 - 27 0x + 3y - 11z = -27 (5)

Passo 5

Agora temos um sistema com duas equações e duas incógnitas:
r 2y - 7z = -17 (4) 3y - 11z = -27 (5)
Vamos resolver esse sistema para encontrar y e z .

Passo 6

Vamos eliminar uma variável. Vamos eliminar y . Multiplicamos a equação (4) por 3 e a equação (5) por 2:
3 times (2y - 7z) &= 3 times (-17) 6y - 21z &= -51 (6) 2 times (3y - 11z) &= 2 times (-27) 6y - 22z &= -54 (7)

Passo 7

Subtraindo a equação (6) da equação (7):
(6y - 22z) - (6y - 21z) = -54 - (-51) 0y - z = -3 -z = -3 z = 3

Passo 8

Agora que temos z = 3 , vamos substituir esse valor na equação (4) para encontrar y :
2y - 7(3) = -17 2y - 21 = -17 2y = -17 + 21 2y = 4 y = 2

Passo 9

Com y = 2 e z = 3 , vamos substituir esses valores na equação (1) para encontrar x :
x + 2 + 2(3) = 9 x + 2 + 6 = 9 x + 8 = 9 x = 9 - 8 x = 1

Resposta

A solução do sistema é:
x = 1, y = 2, z = 3

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