Seja
a transformação linear dada por
. Determine a matriz de
relativa à base
.
Passo 1
O enunciado pede a matriz da transformação linear de derivada T§=p′ no espaço de polinômios de grau ≤n, usando a base B={b₀=1, b₁=1+x, b₂=1+x², …, bₙ=1+xⁿ}. Vamos usar o fato de que para cada vetor da base precisamos calcular T(bₖ) e expressar como combinação linear dos bᵢ.
Passo 2
Calculando T em cada bₖ:
-
T(b₀)=T(1)=0.
-
T(b₁)=T(1+x)=1, e como b₀=1 temos T(b₁)=1·b₀.
-
Para k≥2, T(bₖ)=T(1+xᵏ)=k x^{k-1}. Se k−1=0 (k=1) já foi feito; se k−1≥1, usamos x^{k-1}=b_{k-1}−b₀. LogoT(bₖ)=k·x^{k-1}=k(b_{k-1}−b₀)=−k·b₀ + k·b_{k-1}.
Passo 3
Dessa forma, os coeficientes da matriz [T]_B ficam:
- Coluna j=0 (b₀): toda zero.
- Coluna j=1 (b₁): T(b₁)=1·b₀ ⇒ entrada (0,1)=1.
- Coluna j=k≥2: T(bₖ)=−k·b₀ + k·b_{k-1} ⇒ entradas (0,k)=−k e (k−1,k)=k.
Passo 4
Organizando tudo em forma de matriz (índices i linha, j coluna, ambos de 0 a n):
[T]_B =
onde cada coluna j contém os coeficientes de T(b_j) na base B.
Resposta
A matriz de T relativa à base B é