Seja T: Kn[x] Kn[x] a transformação linear dada por T(p(x))=p^prime(x). Determine a matriz de T relativa à base .

Passo 1

O enunciado pede a matriz da transformação linear de derivada T§=p′ no espaço de polinômios de grau ≤n, usando a base B={b₀=1, b₁=1+x, b₂=1+x², …, bₙ=1+xⁿ}. Vamos usar o fato de que para cada vetor da base precisamos calcular T(bₖ) e expressar como combinação linear dos bᵢ.

Passo 2

Calculando T em cada bₖ:
  • T(b₀)=T(1)=0.
  • T(b₁)=T(1+x)=1, e como b₀=1 temos T(b₁)=1·b₀.
  • Para k≥2, T(bₖ)=T(1+xᵏ)=k x^{k-1}. Se k−1=0 (k=1) já foi feito; se k−1≥1, usamos x^{k-1}=b_{k-1}−b₀. Logo
    T(bₖ)=k·x^{k-1}=k(b_{k-1}−b₀)=−k·b₀ + k·b_{k-1}.

Passo 3

Dessa forma, os coeficientes da matriz [T]_B ficam:
  • Coluna j=0 (b₀): toda zero.
  • Coluna j=1 (b₁): T(b₁)=1·b₀ ⇒ entrada (0,1)=1.
  • Coluna j=k≥2: T(bₖ)=−k·b₀ + k·b_{k-1} ⇒ entradas (0,k)=−k e (k−1,k)=k.

Passo 4

Organizando tudo em forma de matriz (índices i linha, j coluna, ambos de 0 a n):
[T]_B =
0 & 1 & -2 & -3 & cdots & -n 0 & 0 & 2 & 0 & cdots & 0 0 & 0 & 0 & 3 & cdots & 0 vdots & vdots & vdots & vdots & ddots & vdots 0 & 0 & 0 & 0 & cdots & n 0 & 0 & 0 & 0 & cdots & 0
onde cada coluna j contém os coeficientes de T(b_j) na base B.

Resposta

A matriz de T relativa à base B é
[T]B = 0 & 1 & -2 & -3 & cdots & -n 0 & 0 & 2 & 0 & cdots & 0 0 & 0 & 0 & 3 & cdots & 0 vdots & vdots & vdots & vdots & ddots & vdots 0 & 0 & 0 & 0 & cdots & n 0 & 0 & 0 & 0 & cdots & 0

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