Resolva os sistemas abaixo usando Gauss Seidel. Faça os cálculos até a terceira iteração ([llx & y]^(3)), considerando [lllx & y & z]^(0)=[lll0 & 0 & 0].
[rrr-5 & 1 & 1 1 & 10 & -1 2 & -2 & 5][lx y z]=[r-2 5 -5]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Gauss-Seidel! O enunciado pede para a gente fazer até a terceira iteração, começando com x^(0) = 0 , y^(0) = 0 , e z^(0) = 0 . O sistema que temos é:
-5x + y + z = -2 x + 10y - z = 5 2x - 2y + 5z = -5
Pra resolver isso com Gauss-Seidel, vamos seguir passo a passo, atualizando cada variável com base nas últimas informações disponíveis.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar cada equação para isolar cada variável:
  1. Da primeira equação: -5x + y + z = -2 Rightarrow x = y + z + 25
  2. Da segunda equação: x + 10y - z = 5 Rightarrow y = 5 + z - x10
  3. Da terceira equação: 2x - 2y + 5z = -5 Rightarrow z = -5 - 2x + 2y5
Essas formas nos ajudam a atualizar x, y e z sequencialmente usando os valores mais recentes.

Passo 3

Vamos iniciar a primeira iteração ( k = 1) com os valores iniciais:
x^(0) = 0, y^(0) = 0, z^(0) = 0
Atualizamos x^(1):
x^(1) = y^(0) + z^(0) + 25 = 0 + 0 + 25 = 25 = 0,4

Passo 4

Agora, atualizamos y^(1) usando x^(1) e z^(0):
y^(1) = 5 + z^(0) - x^(1)10 = 5 + 0 - 0,410 = 4,610 = 0,46

Passo 5

Em seguida, atualizamos z^(1) usando x^(1) e y^(1):
z^(1) = -5 - 2x^(1) + 2y^(1)5 = -5 - 2(0,4) + 2(0,46)5 = -5 - 0,8 + 0,925 = -4,885 = -0,976

Passo 6

Agora, temos os valores após a primeira iteração:
x^(1) = 0,4, y^(1) = 0,46, z^(1) = -0,976
Vamos para a segunda iteração ( k = 2).

Passo 7

Atualizamos x^(2) usando y^(1) e z^(1):
x^(2) = y^(1) + z^(1) + 25 = 0,46 + (-0,976) + 25 = 1,4845 = 0,2968

Passo 8

Atualizamos y^(2) usando x^(2) e z^(1):
y^(2) = 5 + z^(1) - x^(2)10 = 5 + (-0,976) - 0,296810 = 3,727210 = 0,37272

Passo 9

Atualizamos z^(2) usando x^(2) e y^(2):
z^(2) = -5 - 2x^(2) + 2y^(2)5 = -5 - 2(0,2968) + 2(0,37272)5 = -5 - 0,5936 + 0,745445 = -4,848165 = -0,969632

Passo 10

Agora, os valores após a segunda iteração são:
x^(2) = 0,2968, y^(2) = 0,37272, z^(2) = -0,969632
Vamos para a terceira iteração ( k = 3).

Passo 11

Atualizamos x^(3) usando y^(2) e z^(2):
x^(3) = y^(2) + z^(2) + 25 = 0,37272 + (-0,969632) + 25 = 1,4030885 = 0,2806176

Passo 12

Atualizamos y^(3) usando x^(3) e z^(2):
y^(3) = 5 + z^(2) - x^(3)10 = 5 + (-0,969632) - 0,280617610 = 3,749750410 = 0,37497504

Passo 13

Atualizamos z^(3) usando x^(3) e y^(3):
z^(3) = -5 - 2x^(3) + 2y^(3)5 = -5 - 2(0,2806176) + 2(0,37497504)5 = -5 - 0,5612352 + 0,749950085 = -4,811285125 = -0,962257024

Resposta

Após a terceira iteração, os valores aproximados são:
[c x^(3) y^(3) z^(3) ] = [c 0,2806 0,3750 -0,9623 ]

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