Questão 3(2,0) : Determine a equação paramétrica da reta tangente à curva dada pela interseç̧ão do paraboloide hiperbólico z=x^2-y^2 e do cilindro x^2+y^2=1 no ponto P=(-1,0,1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a equação paramétrica da reta tangente à curva que resulta da interseção do paraboloide hiperbólico z = x^2 - y^2 com o cilindro x^2 + y^2 = 1 no ponto P = (-1, 0, 1) . Isso envolve conceitos de cálculo multivariável, especialmente sobre como encontrar a reta tangente a uma curva de interseção de duas superfícies.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a curva de interseção é formada pelos pontos que satisfazem as duas equações das superfícies simultaneamente. Para achar a reta tangente a essa curva no ponto P , precisamos encontrar um vetor que seja tangente a essa curva naquele ponto.

Passo 3

Para encontrar esse vetor tangente, uma boa estratégia é calcular os vetores normais às duas superfícies no ponto P e depois fazer o produto vetorial entre eles. O resultado será um vetor que é tangente à curva de interseção.

Passo 4

Vamos calcular os vetores normais às duas superfícies no ponto P . A normal de uma superfície dada por F(x, y, z) = 0 é o gradiente de F , ou seja, nabla F .
Para o paraboloide hiperbólico z = x^2 - y^2 , podemos reescrever como F(x, y, z) = x^2 - y^2 - z = 0 . Então:
nabla F = ( partial Fpartial x, partial Fpartial y, partial Fpartial z ) = (2x, -2y, -1)
No ponto P = (-1, 0, 1) :
nabla F(P) = (2(-1), -2(0), -1) = (-2, 0, -1)
Para o cilindro x^2 + y^2 = 1 , a função é G(x, y, z) = x^2 + y^2 - 1 = 0 . Então:
nabla G = (2x, 2y, 0)
No ponto P = (-1, 0, 1) :
nabla G(P) = (2(-1), 2(0), 0) = (-2, 0, 0)

Passo 5

Agora, temos os vetores normais às duas superfícies no ponto P :
NF = (-2, 0, -1)
NG = (-2, 0, 0)
Para encontrar o vetor tangente à curva de interseção, fazemos o produto vetorial desses dois vetores:
v = NF times NG

Passo 6

Calculando o produto vetorial:
v = i & j & k -2 & 0 & -1 -2 & 0 & 0 = i(0 cdot 0 - (-1) cdot 0) - j((-2) cdot 0 - (-1) cdot (-2)) + k((-2) cdot 0 - 0 cdot (-2))
v = i(0) - j(0 - 2) + k(0 - 0) = 0i + 2j + 0k = (0, 2, 0)

Passo 7

Então, o vetor tangente à curva no ponto P é v = (0, 2, 0) . Agora, usamos esse vetor para escrever a equação paramétrica da reta tangente, passando por P = (-1, 0, 1) e na direção de v .

Resposta

A equação paramétrica da reta tangente é:
x = -1 y = 0 + 2t z = 1
onde t é o parâmetro.

Exercícios relacionados