Questão : Determine a equação paramétrica da reta tangente à curva dada pela interseç̧ão do paraboloide hiperbólico e do cilindro no ponto .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a equação paramétrica da reta tangente à curva que resulta da interseção do paraboloide hiperbólico com o cilindro no ponto . Isso envolve conceitos de cálculo multivariável, especialmente sobre como encontrar a reta tangente a uma curva de interseção de duas superfícies.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a curva de interseção é formada pelos pontos que satisfazem as duas equações das superfícies simultaneamente. Para achar a reta tangente a essa curva no ponto , precisamos encontrar um vetor que seja tangente a essa curva naquele ponto.
Passo 3
Para encontrar esse vetor tangente, uma boa estratégia é calcular os vetores normais às duas superfícies no ponto e depois fazer o produto vetorial entre eles. O resultado será um vetor que é tangente à curva de interseção.
Passo 4
Vamos calcular os vetores normais às duas superfícies no ponto . A normal de uma superfície dada por é o gradiente de , ou seja, .
Para o paraboloide hiperbólico , podemos reescrever como . Então:
No ponto :
Para o cilindro , a função é . Então:
No ponto :
Passo 5
Agora, temos os vetores normais às duas superfícies no ponto :
Para encontrar o vetor tangente à curva de interseção, fazemos o produto vetorial desses dois vetores:
Então, o vetor tangente à curva no ponto P é v = (0, 2, 0) . Agora, usamos esse vetor para escrever a equação paramétrica da reta tangente, passando por P = (-1, 0, 1) e na direção de v .