Encontre a solução dos sistemas não-homogêneos:
x1^prime & =x1+2 x2 x2^prime & =-12 x1+x2+e^t.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais não-homogêneas que você mandou. O que a gente vai precisar aqui são conceitos de sistemas lineares de equações diferenciais, como encontrar a solução geral da parte homogênea e uma solução particular para a parte não-homogênea. Basicamente, vamos juntar essas duas soluções pra achar a solução completa do sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de forma matricial pra facilitar. A gente tem:
x1' = x1 + 2x2 x2' = -12x1 + x2 + e^t
Podemos representar isso como:
X' = AX + F(t)
onde:
A = 1 & 2 -12 & 1 , F(t) = 0 e^t

Passo 3

Agora, vamos resolver a parte homogênea, ou seja, sem o termo F(t). Isso significa resolver:
X' = AX
Para isso, precisamos encontrar os autovalores de A. Calculamos o determinante de A - lambda I:
det(A - lambda I) = 1 - lambda & 2 -12 & 1 - lambda = (1 - lambda)^2 + 1 = lambda^2 - 2lambda + 2
Resolvendo lambda^2 - 2lambda + 2 = 0:
lambda = 2 pm raiz(-2)^2 - 4 cdot 1 cdot 22 = 1 pm i

Passo 4

Com os autovalores lambda = 1 pm i, sabemos que a solução geral da parte homogênea será da forma:
Xh(t) = e^t ( C1 cos(t) + C2 sin(t) )
onde C1 e C2 são vetores constantes que determinam a combinação linear das soluções.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular para o sistema não-homogêneo. Como o termo não-homogêneo é e^t, vamos supor uma solução particular da forma:
Xp(t) = a b e^t
onde a e b são constantes a serem encontradas.

Passo 6

Substituindo Xp(t) no sistema original:
Xp' = AXp + F(t)
Calculando a derivada:
Xp' = a b e^t
Substituindo na equação:
a b e^t = 1 & 2 -12 & 1 a b e^t + 0 e^t
Simplificando:
a b = a + 2b -12a + b + 0 1
Isso resulta no sistema de equações:
a = a + 2b b = -12a + b + 1

Passo 7

Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
0 = 2b implies b = 0
Da segunda equação:
0 = -12a + 1 implies a = 2
Então, a solução particular é:
Xp(t) = 2 0 e^t

Passo 8

Finalmente, juntamos a solução homogênea com a particular para obter a solução geral do sistema:
X(t) = Xh(t) + Xp(t) = e^t ( C1 cos(t) + C2 sin(t) ) + 2 0 e^t

Resposta

A solução geral do sistema é:
X(t) = e^t ( C1 cos(t) + C2 sin(t) ) + 2 0 e^t
onde C1 e C2 são vetores constantes determinados pelas condições iniciais.

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