Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais não-homogêneas que você mandou. O que a gente vai precisar aqui são conceitos de sistemas lineares de equações diferenciais, como encontrar a solução geral da parte homogênea e uma solução particular para a parte não-homogênea. Basicamente, vamos juntar essas duas soluções pra achar a solução completa do sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de forma matricial pra facilitar. A gente tem:
Podemos representar isso como:
onde:
Passo 3
Agora, vamos resolver a parte homogênea, ou seja, sem o termo . Isso significa resolver:
Para isso, precisamos encontrar os autovalores de . Calculamos o determinante de :
Com os autovalores lambda = 1 pm i, sabemos que a solução geral da parte homogênea será da forma:
Xh(t) = e^t ( C1 cos(t) + C2 sin(t) )
onde C1 e C2 são vetores constantes que determinam a combinação linear das soluções.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular para o sistema não-homogêneo. Como o termo não-homogêneo é e^t, vamos supor uma solução particular da forma:
Xp(t) = a b e^t
onde a e b são constantes a serem encontradas.
Passo 6
Substituindo Xp(t) no sistema original:
Xp' = AXp + F(t)
Calculando a derivada:
Xp' = a b e^t
Substituindo na equação:
a b e^t = 1 & 2 -12 & 1 a b e^t + 0 e^t
Simplificando:
a b = a + 2b -12a + b + 0 1
Isso resulta no sistema de equações:
a = a + 2b b = -12a + b + 1
Passo 7
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
0 = 2b implies b = 0
Da segunda equação:
0 = -12a + 1 implies a = 2
Então, a solução particular é:
Xp(t) = 2 0 e^t
Passo 8
Finalmente, juntamos a solução homogênea com a particular para obter a solução geral do sistema: