Encontre a solução
da equação de Laplace no retângulo
que satisfaz as condições de contorno
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver a Equação de Laplace no retângulo definido por
e
. As condições de contorno que a solução
deve obedecer são:
Para resolver isso, vamos usar métodos de separação de variáveis e séries de Fourier. Vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais parciais, separação de variáveis e expansão em série.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Equação de Laplace. É uma equação diferencial parcial dada por:
Essa equação descreve situações de equilíbrio, como a distribuição de temperatura estática em uma placa.
Passo 3
Agora, vamos supor que a solução
pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende apenas de
e outra que depende apenas de
:
Essa é a ideia por trás da separação de variáveis.
Passo 4
Substituindo
na Equação de Laplace:
Dividindo ambos os lados por
:
Isso implica que:
onde
é uma constante de separação.
Passo 5
Agora, temos duas equações ordinárias:
- Para
:
- Para
:
Vamos resolver cada uma separadamente.
Passo 6
Considerando as condições de contorno
e
, substituindo
e
na solução separada
, temos:
Como
não é trivial, devemos ter
e
.
Passo 7
A equação para
é:
Com as condições de contorno
e
, a solução não trivial ocorre somente para valores específicos de
. Esses valores são os valores próprios.
Assumimos que
, onde
é um número inteiro positivo.
Passo 8
Com
, a solução geral para
é:
Isso satisfaz as condições de contorno
e
.
Passo 9
Agora, resolvemos a equação para
:
A solução geral dessa equação diferencial é:
onde
e
são constantes a serem determinadas.
Passo 10
Então, a solução geral para
é uma soma sobre todos os modos
:
Passo 11
Vamos aplicar a condição de contorno
:
Para representar a constante 1 como uma série de senos, utilizamos a expansão em série de Fourier adequada. No entanto, como a série de senos não pode representar uma função constante diretamente, pode haver a necessidade de reconsiderar a abordagem ou incluir termos adicionais.
Passo 12
Além disso, temos a condição
. Calculando
a partir da solução geral:
Então, em
:
Isso nos dá uma relação entre
e
:
Resolvendo para
:
Passo 13
Agora, substituímos
na condição
:
Essa equação deve ser satisfeita para todo
, o que implica que os coeficientes dos termos de
devem ser zero, exceto possivelmente para uma série que some a 1. Isso sugere que precisamos ajustar os coeficientes
de forma que a série converja para 1.
Passo 14
Para simplificar, assumimos que a solução particular que satisfaz
é uma função constante mais a solução homogênea. Então, escrevemos:
Aplicando
:
Isso implica que:
Para que isso seja verdadeiro para todo
, cada coeficiente na série deve ser zero:
Passo 15
Da equação acima e da relação entre
e
, temos:
Fatorando
:
Para
, a expressão dentro dos colchetes deve ser zero:
Resolvendo para
, obtemos os coeficientes que irão definir a série que resolve a equação.
Passo 16
Finalmente, substituímos os valores de
e
na solução geral:
Onde
são os coeficientes determinados pela condição
.
Resposta
A solução da Equação de Laplace no retângulo
,
que satisfaz as condições de contorno dadas é:
onde os coeficientes
são determinados a partir das condições de contorno e asseguram que a solução atenda
.