Encontre a solução u(x, y) da equação de Laplace no retângulo 0 < x < a, 0 < y < b que satisfaz as condições de contorno
(a)
u(x, 0) = 0, u(x, b) = 0, u(0, y) = ux|x=0, u(a, y) = 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver a Equação de Laplace no retângulo definido por e . As condições de contorno que a solução deve obedecer são:
Para resolver isso, vamos usar métodos de separação de variáveis e séries de Fourier. Vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais parciais, separação de variáveis e expansão em série.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Equação de Laplace. É uma equação diferencial parcial dada por:
Essa equação descreve situações de equilíbrio, como a distribuição de temperatura estática em uma placa.

Passo 3

Agora, vamos supor que a solução pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende apenas de e outra que depende apenas de :
Essa é a ideia por trás da separação de variáveis.

Passo 4

Substituindo na Equação de Laplace:
Dividindo ambos os lados por :
Isso implica que:
onde é uma constante de separação.

Passo 5

Agora, temos duas equações ordinárias:
  1. Para :
  1. Para :
Vamos resolver cada uma separadamente.

Passo 6

Considerando as condições de contorno e , substituindo e na solução separada , temos:
Como não é trivial, devemos ter e .

Passo 7

A equação para é:
Com as condições de contorno e , a solução não trivial ocorre somente para valores específicos de . Esses valores são os valores próprios.
Assumimos que , onde é um número inteiro positivo.

Passo 8

Com , a solução geral para é:
Isso satisfaz as condições de contorno e .

Passo 9

Agora, resolvemos a equação para :
A solução geral dessa equação diferencial é:
onde e são constantes a serem determinadas.

Passo 10

Então, a solução geral para é uma soma sobre todos os modos :

Passo 11

Vamos aplicar a condição de contorno :
Para representar a constante 1 como uma série de senos, utilizamos a expansão em série de Fourier adequada. No entanto, como a série de senos não pode representar uma função constante diretamente, pode haver a necessidade de reconsiderar a abordagem ou incluir termos adicionais.

Passo 12

Além disso, temos a condição . Calculando a partir da solução geral:
Então, em :
Isso nos dá uma relação entre e :
Resolvendo para :

Passo 13

Agora, substituímos na condição :
Essa equação deve ser satisfeita para todo , o que implica que os coeficientes dos termos de devem ser zero, exceto possivelmente para uma série que some a 1. Isso sugere que precisamos ajustar os coeficientes de forma que a série converja para 1.

Passo 14

Para simplificar, assumimos que a solução particular que satisfaz é uma função constante mais a solução homogênea. Então, escrevemos:
Aplicando :
Isso implica que:
Para que isso seja verdadeiro para todo , cada coeficiente na série deve ser zero:

Passo 15

Da equação acima e da relação entre e , temos:
Fatorando :
Para , a expressão dentro dos colchetes deve ser zero:
Resolvendo para , obtemos os coeficientes que irão definir a série que resolve a equação.

Passo 16

Finalmente, substituímos os valores de e na solução geral:
Onde são os coeficientes determinados pela condição .

Resposta

A solução da Equação de Laplace no retângulo , que satisfaz as condições de contorno dadas é:
onde os coeficientes são determinados a partir das condições de contorno e asseguram que a solução atenda .

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